שינויים
/* תרגיל */
חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
==הגדרה==
====ראיתם בהרצאה:====
הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> , מתקיים:
1. <math>z\cdot \overline{z}=|z|^2</math>.
2. <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>.
3. <math>z-\overline{z}=2Im(z)i</math>.
'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math> , ונחשב:
<math>z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2</math>.
ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z+\overline{z}=Re(z)+2i</math> אין פתרון.
=====פתרון=====
נסמן <math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:
לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>.
ב. נשים לב שאגף ימין שמאל הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד באגף ימין יש חלק מדומה (שוונה מאפס) <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון. ====תרגיל====יהיו <math>z,w</math> מספרים מרוכיבם המקיימים: <math>|z|=|w|=1,z\cdot w\neq 1</math>. הוכיחו שהמספר <math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}</math> הינו מדומה טהור (כלומר, החלק הממשי שלו הוא 0). =====פתרון=====נכפול בצמוד למכנה: <math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}=\frac{(z+w)(\overline{1-zw})}{(1-zw)(\overline{1-zw})}=\frac{(z+w)(1-\overline{z}\overline{w})}{|1-zw|^2}=\frac{z+w-z\overline{z}\overline{w}-\overline{z}w\overline{w}}{|1-zw|^2}</math>
כעת נשים לב שמהנתון על הערכים המוחלטים נקבל: <math>z\overline{z}\overline{w}=\overline{w},\overline{z}w\overline{w}=\overline{z}</math>. לכן במונה כתוב בעצם: <math>z-\overline{z}+w-\overline{w}=-2\cdot Im(z)i-2\cdot Im(w)i</math> שזהו מספר מדומה טהור, והוא נשאר כזה גם אחרי חלוקתו במכנה שהוא ממשי. מש"ל.
==שורשים ומשוואות ריבועיות==
