הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 2"

גרסה מ־12:07, 21 באוקטובר 2018

תוכן עניינים

1 הצגה פולרית של מספרים מרוכבים
- 1.1 מעבר בין הצגות
  - 1.1.1 תרגיל
    - 1.1.1.1 פתרון
- 1.2 נוסחת דה-מואבר
  - 1.2.1 תרגיל
    - 1.2.1.1 פתרון
2 שורשים של פולינם
- 2.1 תרגיל
  - 2.1.1 פתרון

הצגה פולרית של מספרים מרוכבים

נתבונן במספר מרוכב $z=a+bi$ , נסמן ב $\theta$ את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב $r$ את הנורמה, אז נקבל: $\cos \theta = \frac{a}{r},\sin \theta = \frac{b}{r}, \tan \theta = \frac{b}{a}$ . ולכן נקבל $z=r\cdot \cos \theta +r\cdot \sin \theta i$ , שמסומן בקצרה: $r\text{cis} \theta$ .

מעבר בין הצגות

מקרטזית לפולרית: בהינתן $z=a+bi$ , ניקח $r=\sqrt{a^2+b^2},\theta \text{where} \tan \theta =\frac{b}{a}$ עד כדי הוספת $\pi$ לפי מיקום המספר על הצירים.

לדוגמא: עבור המספר $-0.5+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ נקבל $r=\sqrt{0.25+\frac{3}{4}}=1,\theta=60+180=240=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}$ .

מפולרית לקרטזית: אם $z=r\text{cis} \theta$ אז $a=r\cos \theta,b=r\sin \theta$ .

תרגיל

חשבו:

1. $5\text{cis}60\cdot 7\text{cis}45$ .

2. $2\text{cis}30+4\text{cis}135$ .

פתרון

1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות.

2. וברים לקרטזית ושם מחברים.

נוסחת דה-מואבר

מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: $(r\text{cis} \theta )^n=r^n\text{cis} (n\theta)$ .

לדוגמא: $)(\sqrt{2}\text{cis}60)^3=2\sqrt{2}\text{cis}180=-2\sqrt{2}$ .

כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם $(r\text{cis}\theta)^n=p\text{cis}\phi$ אז $r=\sqrt[n]{p}, n\cdot \theta=\phi + 2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{\phi +2\pi k}{n}=\frac{\phi}{n}+\frac{2\pi k}{n}$ .

תרגיל

חשב את $\sqrt[3]{8\text{cis}\frac{\pi}{4}}$

פתרון

נקבל $r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}$ . נשים לב שאם ניקח $k=3$ נקבל $\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi$ , ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור $k=0$ .

שורשים של פולינם

תרגיל

פתרו: $z^5=-2$ .

פתרון

ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: $-2=2cis\pi$ . עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: $z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4$ ...

ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום $x^5+2$ . ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה $(x-x_0)$ . לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): ש=0 ) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$ . כך נמצא את $b,c$ .

@@ שורה 45: / שורה 45: @@
 פתרו: <math>z^5=-2</math>.
-=====פתרן=====
+=====פתרון=====
 ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: <math>-2=2cis\pi</math>. עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: <math>z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4</math>...
 ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום <math>x^5+2</math>. ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה <math>(x-x_0)</math>. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (<math>ש=0</math>) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה <math>\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}</math>. כך נמצא את <math>b,c</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 2"

גרסה מ־12:07, 21 באוקטובר 2018

תוכן עניינים

הצגה פולרית של מספרים מרוכבים

מעבר בין הצגות

תרגיל

פתרון

נוסחת דה-מואבר

תרגיל

פתרון

שורשים של פולינם

תרגיל

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים