===מעבר בין הצגות===
מקרטזית לפולרית: בהינתן <math>z=a+bi</math>, ניקח <math>r=\sqrt{a^2+b^2},\theta \text{wheresuch that} \tan \theta =\frac{b}{a}</math> עד כדי הוספת <math>\pi</math> לפי מיקום המספר על הצירים.
'''לדוגמא:''' עבור המספר <math>-0.5+\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> נקבל <math>r=\sqrt{0.25+\frac{3}{4}}=1,\theta=60+180=240=\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}</math>.
מפולרית לקרטזית: אם <math>z=r\text{cis} \theta</math> אז <math>a=r\cos \theta,b=r\sin \theta</math>.
====תרגיל====
הציגו את המספרים הבאים בצורה פולרית:
1. <math>\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}</math>
2. <math>-1-i</math>
=====פתרון=====
1. <math>|z|=\sqrt{0.75+0.25}=1,\tan \theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \theta =...</math>
2.
====תרגיל====
הציגו את המספרים הבאים בצורה קרטזית:
1. <math>\text{cis}0</math>.
2. <math>5\text{cis}\frac{\pi}{8}</math>.
====תרגיל - הצמוד בראי ההצגה הפולרית====
נניח ש- <math>z=r\text{cis}\theta</math>. מצאו את <math>-z,\overline{z}</math> כתלות ב-<math>r,\theta</math>.
=====פתרון=====
נתחיל עם הצמוד. מה אנחנו רוצים שיתקיים? נעבור רגע להצגה הקרטזית <math>z=r\cos \theta+r\sin \theta i</math>, ולכן <math>\overline{z}=r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. הערך המוחלט לא משתנה, אנחנו רק צריכם למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: <math>\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\cos(-\alpha)=\cos \alpha</math>, ולכן הבחירה <math>\varphi=-\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!
בדומה לזה נעשה עם <math>-z=-r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. כאן אנחנו צריכים למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=-\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות:
<math>\sin(180+\alpha)=-\sin \alpha,\cos(180+\alpha)=-\cos \alpha</math> (הן נובעות מהזהויות של זוית משלימה ל180 והזהויות הקודמות), ולכן הבחירה <math>\varphi=180+\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!
בסה"כ: <math>\overline{z}=r\text{cis}-\theta,-z=r\text{cis}180+\theta</math>.
===נוסחת דה-מואבר===
בהינתן שני מספרים בהצגה פולרית, <math>z_1=r_1\text{cis}\theta_1,z_2=r_2\text{cis}\theta_2</math> הכפל ביניהם הוא: <math>z_1\cdot z_2=(r_1\cdot r_2)\text{cis}(\theta_1+\theta_2)</math>. כלומר, הרדיוסים מוכפלים והזויות נסכמות. חיבור נעשה רק בצורה הקרטזית.
====תרגיל====
חשבו:
=====פתרון=====
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות: <math>35\text{cis}105</math>.
2. וברים עוברים לקרטזית ושם מחברים: <math>(2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}i)+(4\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) +4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{3}-2\sqrt{2}+(1+2\sqrt{2})i</math>. ===מסקנה - חישוב שורשים===
===נוסחת דה-מואבר===
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: <math>(r\text{cis} \theta )^n=r^n\text{cis} (n\theta)</math>.
'''לדוגמא:''' <math>)(\sqrt{2}\text{cis}60)^3=2\sqrt{2}\text{cis}180=-2\sqrt{2}</math>.
כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם <math>(r\text{cis}\theta)^n=p\text{cis}\phi</math> אז <math>r=\sqrt[n]{p}, n\cdot \theta=\phi + 2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{\phi +2\pi k}{n}=\frac{\phi}{n}+\frac{2\pi k}{n}</math>.
נקבל <math>r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}</math>. נשים לב שאם ניקח <math>k=3</math> נקבל <math>\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi</math>, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור <math>k=0</math>.
==מעגל היחידה ושורשי היחידה==
מעגל היחידה הוא אוסף המספרים עם הרדיוס 1, כלומר, <math>\{z=\text{cis}\theta|0\leq \theta < 360\}</math>. שורשי היחידה הם המספרים על מעגל היחידה שיש חזקה טבעית המביאה אותם ל-1. שורשי היחידה מסדר נתון <math>n</math> הם המספרים: <math>\{z:z^n=1\}</math>. ניתן גם לרשום אותם באופן הבאה: <math>\{z=\text{cis}\frac{k\cdot 360}{n}| k\in \{0,1,\dots,n-1\}\}</math>.
====תרגיל====
נתון מספר מרוכב <math>z</math> הנמצא מחוץ למעגל היחידה. כתבו האם המספרים הבאים נמצאים בתוך מעגל היחידה, על מעגל היחידה או מחוץ למעגל היחידה.
א. <math>\overline{z}</math>
ב. <math>-\frac{1}{z}</math>
ג. <math>\frac{z}{\overline{z}}</math>
ד. <math>z\cdot \overline{z}</math>
=====פתרון=====
נשים לב שבשאלה זו מעניין אותנו רק מה ההנורמה של המספר, כי הזוית לא משנה בהקשר של בתוך/על/מחוץ מעגל היחידה. נרשום <math>z=r\text{cis}\theta</math>, נקבל <math>r>1</math> ונבדוק את הנורמה של המספרים המבוקשים.
א. הנורמה של הצמוד זהה לשל המקורי, ולכן כמו <math>z</math> גם הוא נמצא מחוץ למעגל היחידה.
ב. הנורמה של ההופכי היא ההופכי של הנורמה. ולכן, <math>r>1\Rightarrow \frac{1}{r}<1</math>. ולכן ההופכי נמצא בתוך מעגל היחידה.
ג. כיון שהנורמות שוות נקבל שהנורמה של המנה היא 1, ולכן זה נמצא על מעגל היחידה.
ד. <math>z\cdot\overline{z}=|z|^2=r^2>1</math>, ולכן מחוץ למעגל היחידה.
====תרגיל====
מצאו שני שורשי יחידה שונים מסדר 4 שמכפלתם 1. כנ"ל מסדר 11.
=====פתרון=====
מסדר 4 יש רק זוג אחד כזה: <math>i,-i</math>. מסדר 11, ניתן למצוא כמה. נשים לב שבעצם צריך למצוא שני טבעיים בין 0 ל-10 שסכומם 11. למשל ניקח את 4,7 ונקבל: <math>\text{cis}\frac{4\cdot 360}{11}\cdot \text{cis}\frac{7\cdot 360}{11}=\text{cis}\frac{(4+7)\cdot 360}{11}=\text{cis}360=1</math>.
====תרגיל====
יהי <math>n</math> אי-זוגי. הוכיחו שמכפלת שורשי היחידה מסדר זה היא 1. כלומר, <math>\prod_{k=0}^{n-1}z_{k}=1</math>.
=====פתרון=====
נחשב: <math>\prod_{k=0}^{n-1}z_{k}=\prod_{k=0}^{n-1}\text{cis}\frac{2\pi k}{n}=\text{cis}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2\pi k}{n}\right)=\text{cis}\left(\frac{2\pi}{n}\cdot\sum_{k=0}^{n-1}k\right)</math>
כעת קיבלנו סדרה חשבונית שהאיבר הראשון שבה הוא אפס, ולכן ניתן להתעלם ממנו. כלומר, <math>\sum_{k=0}^{n-1}k=\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1+n-1}{2}\cdot(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}</math>. לכן נקבל: <math>\text{cis}\left(\frac{2\pi}{n}\cdot\frac{n(n-1)}{2}\right)=\text{cis}\left((n-1)\pi\right)</math>. וכיון שנתון <math>n</math> אי-זוגי, נקבל מכפלה זוגית של <math>\pi</math>, שזה נותן את 1.
'''שאלה:''' מה נקבל עבור <math>n</math> זוגי?
==שורשים של פולינם==
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממשיים ממעלה 1 או 2. עכשיו נמצא פירוק כזה לפולינום פשוט.
====תרגיל====
פתרופרקו את הפולינום: <math>zx^5=-+2</math>לגורמים ממשיים ממעלה 1 או 2.
=====פתרון=====
ראשית נרשום את הפולינום כמשוואה במרוכבים: <math>z^5=-2</math>, ולצורך נוחות נעביר את המספר מימין בהצגה להצגה פולרית: <math>-2=2cis\pi</math>. עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: <math>z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4</math>... כעת, ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה <math>(x-x_0)</math>. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים להם המתקבל ממכפלת הגורמים הליניאריים המרוכבים: <math>(x-z_0)(x-\overline{z_0})=x^2-(z_0+\overline{z_0})x+z_0\overline{z_0}=x^2-2Re(z_0)x+|z_0|^2</math>. וכאן כל המקדמים ממשיים. הזויות של השורשים הן: <math>\{\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{5},\frac{5\pi}{5}=\pi,\frac{7\pi}{5},\frac{9\pi}{5}\}</math>. הזוית היחידה שנותנת שורש ממשי היא <math>\pi</math>, וממנה נקבל את הגורם <math>(x+\sqrt[5]{2})</math>. הזוגות של הזוית הצמודות הן: <math>\{\frac{\pi}{5},\frac{9\pi}{5}\},\{\frac{3\pi}{5},\frac{7\pi}{5}\}</math>. מהצמד הראשון נקבל את הגורם:<math>(x-\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{\pi}{5})(x-\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{9\pi}{5})=x^2-2Re(\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{\pi}{5})x+\sqrt[5]{4}=x^2-2\cdot \sqrt[5]{2}\cos \frac{\pi}{5}+\sqrt[5]{4}</math>. מהצמד השני נקבל את הגורם:<math>(x-\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{3\pi}{5})(x-\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{7\pi}{5})=x^2-2Re(\sqrt[5]{2}\text{cis}\frac{3\pi}{5})x+\sqrt[5]{4}=x^2-2\cdot \sqrt[5]{2}\cos \frac{3\pi}{5}+\sqrt[5]{4}</math>.
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו כעת הפירוק הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום : <math>x^5+2</math>. ניקח מהשורשים את הממשיים =(חייב להיות לפחת אחד, כי x+\sqrt[5 מספר אי-זוגי]{2}), ואותם נשים בגורם מהצורה <math>(x^2-x_0)</math>. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (<math>a=0</math>) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה <math>\cdot \sqrt[5]{2}\cos \frac{-b\pm pi}{5}+\sqrt[5]{b4})(x^2-4c2\cdot \sqrt[5]{2}\cos \frac{3\pi}{25}</math>. כך נמצא את <math>b,c+\sqrt[5]{4})</math>.