שינויים

ראיתם את המשפט שאם תהיינה <math>r_n,\theta_n</math> סדרות ממשיות, ותהי <math>z_n=r_n\text{cis}\theta_n</math> סדרה מתכנסת מרוכבת. הוכיחו שאם <math>r_n\to 0</math> אז גם סדרת הנורמות<math>z_n\to 0</math>. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?

<math>|z_n-0|=|z_n|=r_n\to 0</math>. ==הערה===דוגמא=====במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזהנסמן <math>z=\frac{2}{5}\text{cis}30</math> ונתבונן בסדרה <math>z_n=z^n</math>. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא האם היא מתכנסת. לדוגמא: ? כן! <math>z_n=(\frac{2}{5}\text{cis}30)^n</math>, כאשר מסתכלים על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי כין שהסדרה <math>n_1-n_2r_n=(\neq frac{2}{5})^n\pi kto 0</math> כיון שההפרש שלםנקבל שהסדרה כולה מתכנסת לאפס.

הוכיחו שאם מצאו את הגבול של הסדרות הבאות: א. <math>zz_n=r(2-\frac{1}{n})\text{cis}\theta,rfrac{\pi}{3}</math>. ב. <math>z_n=(1+\frac{2}{n})^n-\sqrt[n]{n}i</math> אז הסדרה . ג. <math>z_n=z\frac{3n^3+2n^2+n}{4n^3+3n^2+2n+1}+\to 0frac{\sin n}{n}i</math>. ד. <math>z=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i</math>. ====תרגיל====ראיתם את המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?

נבדוק לפי הגדרה: כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>|z_n-0|=|z(-1)^n|</math>. '''הערה:''' במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=|z|^n=r^n\to 0text{cis}n</math>, כאשר המעבר האחרון מאינפי 1מסתכלים על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_1-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם.