השינוי האחרון נעשה בֹ־13 בנובמבר 2018 ב־11:48

אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3

גרסה מ־11:48, 13 בנובמבר 2018 מאת אריאל (שיחה | תרומות) (←‏טענות)

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרות

הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו....

גבול של סדרה: נאמר שסדרה \{z_n\} מתכנסת לגבול z ונסמן z_n\to z אם מתקיים |z_n-z|\to 0, כאשר הדבר האחרון מוגדר כבר באינפי 1 כי זו סדרה של ממשיים.

דוגמאות

1. z_n=1+(1+\frac{1}{n})^ni\to 1+ei. הוכחה: |z_n-z|=|1+(1+\frac{1}{n})^ni-(1+ei)|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\cdot |i|=|((1+\frac{1}{n})^n-e)|\to 0, כאשר השאיפה בסוף נובעת מהידוע לנו מאינפי 1.

2. z_n=\frac{n^2+1}{2n^2+3n-2}-2i\to 0.5-2i בדומה...

טענות

בדומה לסדרות של ממשיים, מתקיים:

1. z_n\to z\Rightarrow \forall c\in \mathbb{C} c\cdot z_n\to c\cdot z

2. z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n+w_n\to z+w

3. z_n\to z,w_m\to w\Rightarrow z_n\cdot w_n\to z\cdot w

הוכחה:

1. |cz_n-cz|=|c(z_n-z)|=|c|\cdot |z_n-z|\to 0

2. |(z_n+w_n)-(z+w)|=|(z_n-z)+(w_n-w)|\leq |z_n-z|+|w_n-w|\to 0

3. |z_n\cdot w_n-zw|=|z_n w_n-z_nw+z_nw-zw|=|z_n(w_n-w)+w(z_n-z)|\leq |z_n(w_n-w)|+|w(z_n-z)|=|Z_n|\cdot |w_n-w_+|w|\cdot |z_n-z|

כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.