אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5

הגדרה

נאמר שפונקציה גזירה בנקד' $z_0$ אם לכל סדרה $\triangle z\to 0$ קיים הגבול $\underset{\lim}{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z}$ , ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

דוגמאות

תרגיל

האם הפונקציה $f(z)=z^2$ גזירה?

פתרון

כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!

תרגיל

האם הפונקציה $f(a+bi)=2a-3bi$ גזירה באפס?

פתרון

לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.

משפטים

סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!

משוואות קושי-רימן

נגזרות חלקיות

תהי $U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.

דוגמא: $U(x,y)=x^2+2xy$ אז הנגזרות החלקיות הן: $U_x=2x+2y,U_y=2x$ . כמובן, הנגזרת בעצמה היא פונקציה בשתי משתנים, ולכן גם אותה ניתן לגזור לפי כל אחד מהמשתנים. כלומר נקבל שיש 4 "נגזרת שנייה":