השינוי האחרון נעשה בֹ־27 בנובמבר 2018 ב־11:16

אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5

גרסה מ־11:16, 27 בנובמבר 2018 מאת אריאל (שיחה | תרומות) (←‏משפטים)

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרה

נאמר שפונקציה גזירה בנקד' z_0 אם לכל סדרה \triangle z\to 0 קיים הגבול \underset{\lim}{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z}, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

דוגמאות

תרגיל

האם הפונקציה f(z)=z^2 גזירה?

פתרון

כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!

תרגיל

האם הפונקציה f(a+bi)=2a-3bi גזירה?

פתרון

לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.

משפטים

סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!

תרגיל

א. תהי f(z)=z^n הוכיחו: f'(z)=nz^{n-1}.

ב. יהי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \stackrelthree לא מוכרת): P(z)=\stackrelthree{\sum}{k=0}{n} \alpha_kz^k 

פולינום.

הוכיחו ש- עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \stackrelthree לא מוכרת): P'(z)=\stackrelthree{\sum}{k=1}{n} k\alpha_kz^{k-1} .

פתרון

א. באינדוקציה ע"י כלל המכפלה.

ב. מסעיף קודם וכלל החיבור.

תנאי קושי-רימן

נגזרות חלקיות

תהי U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.

דוגמא: U(x,y)=x^2+2xy אז הנגזרות החלקיות הן: U_x=2x+2y,U_y=2x.

עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.

כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של U,V המתאימות.

תנאי קושי רימן

תהי f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i פונקציה מרוכבת. f גזירה בנקודה z_0=(x_o,y_0) אם ורק אם הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:

\begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases}.

ובמקרה זה מתקיים: f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i.

תרגיל

באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות:

1. f(x+yi)=x+y^3i

2. f(z)=z+Re(z)

3. f(z)=(z-1)(Re(z))^2

4. f(x+yi)=e^x\text{cis}y

פתרון

משפט

פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.

תרגיל

הוכיחו שאם f=U+Vi גזירה והחלק הממשי של f הוא פונקציה קבועה אז f קבועה.

פתרון

U קבועה ולכן U_x=U_y=0, וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0, ולכן גם V קבועה. ולכןf קבועה.