שינויים

לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, וידוע שהגוף מתקרר מ100 ל70 במשך 15 דקות. שקבוע הקירור של הגוף הוא <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?

הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-k\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+kT\frac{1}{\sqrt{3}}T=30</math>, ולכן <math>a(x)=k\frac{1}{\sqrt{3}}(\Rightarrow A(x)=kx\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=30k\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:<math>T=e^{-kx\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30ke30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{kx\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-kx\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30k30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{kx\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=30k^210+ce^{-kx\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>.  כעת נציב את נתוני ההתחלה: <math>T(0)=100</math>,ונקבל: <math>100=10+ce^0\Rightarrow c=90</math>. כלומר <math>T(15x)=7010+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>, ונקבל עכשיו אנחנו מחפשים את הזמן בו הטמפרטורה 40. כלומר פתרון למשוואה:<math>10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=40</math> קצת אלגברה: <math>e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{3}}x=\ln(\frac{1}{3})\Rightarrow x=-\sqrt{3}\cdot \ln(\frac{1}{3})</math>.