שינויים

== פונקציה רציפה למקוטעין == '''הגדרה:''' הפונקציה <math>f:[-\pi,\pi]\to\mathbb C</math> תקרא ''רציפה למקוטעין'' אם::# ל־<math>f</math> יש לכל היותר מס׳ מספר סופי של נקודות אי־רציפות.:# בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדייםהחד־צדדיים. כלומר, אם <math>x_0</math> אי־רציפות אזי <math>\lim_lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)</math> ו־<math>,\lim\lim_limits_{x\to x_0^-}f(x)</math> קיימים במובן הצר.

=== תכונות ===# סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.# הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־<math>E</math>. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־<math>\displaystyle\langle f,g\rangle=\frac1frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math>. === משפט ===סדרת הפונקציות <math>\left\{\frac1\sqrt2,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\dots\right\}</math> היא מערכת אורתונורמלית ב־<math>E</math>.

==== הוכחה =משפט===נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג איברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל איבר היא 1:{{left|סדרת הפונקציות <math>\begin{align}\left\langle\frac1\sqrt2,\sin(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1\sqrt2\sin(nx)\mathrm dx=\left[-\frac1\pi\\frac1\sqrt2\frac1n\cos(nx)\right]_{x=-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac1\sqrt2,\cos(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1\sqrt2\cos(nx)\mathrm dx=\left[\frac1\pi\\frac1\sqrt2\frac1n\sin(nx)\right]_{x=-\pi}^\pi=\frac1{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\sin(mx),\cos(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+,\sin((m-n2x)x)}2\mathrm dx=-\frac1{2\pi}\left[\frac{,\cos((m+n2x)x)}{m+n}+,\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}ldots\right]_{x=-\pi}^\pi=0\end{align}</math>}}היא מערכת אורתונורמלית ב־<math>E</math>.

הערה====הוכחה====נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג אברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל אבר היא 1:: נעזרנו ב־<math>\begin{align}\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\sin(nx)\alpharight\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\sin(nx)dx=\left[-\frac{1}{\sqrt2\pi n}\cos(\betanx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sinsqrt2\pi n}\Big(\alpha+cos(n\betapi)+-\sincos(n\alpha-pi)\betaBig)=0\\\left\langle\frac{1}2</math>דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים: <math>{\intsqrt2},\sincos(mxnx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\cos(nx)\mathrm dx=\left[\frac{1}{\sqrt2\pi n}\sin(mxnx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{1}{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(nxn\pi)-m\cossin(n\pi)\Big)=0\\\bigl\langle\sin(mx),\cos(nx)\bigr\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-m\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}{2}dx\\&=-\frac{1}{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{x=-\pi}^\pi=0\end{align}</math>. עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.

באותו אופן ניתן להראות ש־הערה: נעזרנו בזהות <math>\langlesin(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{\sin(mx\alpha+\beta),+\sin(nx\alpha-\beta)}{2}</math>. דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים::<math>\rangleint\sin(mx)\cos(nx)dx=\langleleft[\dfrac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx),\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{-\pi}^\ranglepi=0</math>עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.

עתה נראה שהנומה של כל איבר היא 1:{{left|באותו אופן ניתן להראות כי <math>\begin{align}langle\left\|\frac1\sqrt2\right\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\mathrm dx}{\sqrt2^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|sin(nxmx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi,\sin^2(nx)\mathrm dxrangle=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-langle\cos(2nxmx)}2\mathrm dx=\frac1\pi\left[\frac x2-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{x=-\pi}^\pi=1\\\|,\cos(nx)\|^2&rangle=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\cos^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}2\mathrm dx=1\end{align}0</math>}}.

== מערכת סגורה ==עתה נראה שהנורמה של כל אבר היא 1:'''הגדרה:''' תהי <math>\begin{align}\mathbf e_1,left\mathbf e_2,|\dotsfrac{1}{\sqrt2}</math> מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ <math>V</math>. המערכת תקרא ''סגורה'' ב־<math>V</math> אם <math>\forallright\mathbf u|^2&=\in V:frac{1}{\pi}\ int\lim_limits_{n-\topi}^\inftypi\frac{dx}{\sqrt{2}^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\left\|\mathbf u-sin(nx)\sum_|^2&=\frac{k1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^n\langlepi\mathbf u,frac{1-\mathbf e_kcos(2nx)}{2}dx=\ranglefrac{1}{\mathbf e_kpi}\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=0\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\cos(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}{2}dx=1\end{align}</math>.

==מערכת סגורה=='''מסקנההגדרה:''': ניתן להציג כל תהי <math>f\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ <math>V</math> בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האיברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.תקרא ''סגורה'' ב־<math>V</math> אם:<math>\forall\mathbf u\in V:\ \lim\limits_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum\limits_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0</math>

{{left|'''מסקנה''': ניתן להציג כל <math>f</math> בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.:<math>\begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac1frac{1}{\sqrt2}\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac1frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac1frac{1}{\sqrt2\mathrm }dx\right)\frac1frac{1}{\sqrt2}=\frac1frac{1}{2\pi}\itnint\limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\underbracefrac{1}{\frac1\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx\right)}_{b_n}\right)\sin(nx)\\3.&\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\underbracefrac{1}{\frac1\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx\mathrm dxright)}_{a_n}\right)\cos(nx)\end{align}</math>}}

לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה:: <math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math> כאשר <math>\\\begin{cases}\displaystyle a_n=\frac1frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx,&n=0,1,2,\dotsldots\\\displaystyle b_n=\frac1frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx,&n=1,2,\dotsldots\end{cases}</math>

== טור פורייה ==תהי <math>f\in E</math>. הטור <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math> כאשר <math>\begin{cases}a_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx,&n=0,1,2,\dots\\b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx,&n=1,2,\dots\end{cases}</math> שמצאנו נקרא טור פורייה של <math>f</math> ויסומן :<math>\displaystyle f(x)\~{}sim\fracdfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math>.

* מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.* מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.* מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.

==== משפט ====

* אם <math>f</math> זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\fracdfrac{a_0}{2}+\sum_sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".* אם <math>f</math> אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\sum_sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור סינוסים".

==== תרגיל ====מצא טור פורייה של <math>f(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\\-2,&:\!x<0\\1&:\!x\ge0\end{cases}</math> בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.

===== פתרון =====ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים{{left|:<math>\begin{align}a_0&=\frac1frac{1}{\pi}\int\limtis_limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx=\frac1frac{1}{\pi}\int\limtis_limits_{-\pi}^0 -2\mathrm ,dx+\frac1frac{1}{\pi}\int\limtis_0limits_0^\pi\mathrm dx=\frac1frac{1}{\pi}[-2x]_{x=-\pi}^0+\frac1frac{1}{\pi}[x]_{x=0}_0^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac1frac{1}{\pi}\int\limtis_limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limtis_limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\begin{cases}0,&:\!n\in2\mathbb Z\\\frac6dfrac{6}{\pi n},&:\!n\in2\mathbb Z+1\end{cases}\end{align}</math>}}ולכן <math>f(x)\~{}sim-\frac12dfrac12+\sum_sum\limits_{n=1}^\infty\frac6dfrac{6}{(2n-1)\pi}\sin((2n-1)x)</math>. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האיבר האבר <math>-\frac12</math> שבהתחלה.

==== תרגיל ====

===== פתרון =====<math>f</math> אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים:: <math>\begin{align}b_n&=\frac1frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)\mathrm dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}{n}\end{bmatrix}\\&=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_{x=0}_0^\pi+\frac2frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}{n\mathrm }dx=\frac2frac{2}{\pi\left(}\frac{-\pi(-1)^n}{n}+\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_{x=0}_0^\pi=\fracdfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\end{align}</math>, כלומר <math>x\~{}sim\sum_sum\limits_{n=1}^\infty\fracdfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>.

==== תרגיל ====נתונה <math>f\in E[-\pi,\pi]</math>. לכל <math>a,b,c\in\mathbb C</math> נגדיר :<math>G(a,b,c)=\frac1frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|\mathrm dx</math>. עברו אילו ערכים של עבור אלה ערכי <math>a,b,c</math> מקבלת <math>G</math> את ערכה המינימלי?

===== פתרון =====נשים לב ש־כי <math>G(a,b,c)=\Big\|f(x)-{\color{Blue#0000FF}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\Big\|^2</math>. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגנולי האורתוגונלי של <math>f</math> אז אזי מובטח לנו ש־כי <math>G(a,b,c)</math> מקבל מקבלת את ערכו ערכה המינימלי. נפתור זאת: {{left|:<math>\begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\fracdfrac{\tfrac1displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx}{\tfrac1displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\mathrm dx}=\frac1frac{1}{2\pi}\int\limtis_limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|\cos\|^2}=\frac1frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)\mathrm dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac1frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)\mathrm dx\end{align}</math>}}

נתייחס למרחב הלינארי <math>\ell_2</math> ולאיבר ולאבר <math>x=\left\{\fracdfrac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. מתקיים :<math>\displaystyle\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n</math> אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא <math>\frac{16}{85}</math>. לכן, <math>\|x\|_2=\frac4frac{4}{\sqrt{85}}</math>. {{משל}}