שינויים
/* טורי פורייה */
*ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
**<math>\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]</math>
*הערה חשובה:
**למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{2},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx</math>
===מקדמי הטור===
*כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
*<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=</math>
*<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=</math>
*כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
*<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]</math>
*לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
*<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx=a_k</math>
*שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור <math>k=0</math>.
