שינויים
/* דוגמא */
====דוגמא====
*נחשב את מקדמי הפורייה שלההמשך המחזורי של <math>x^2</math>*שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל. :<math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0</math>.*שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית. :<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}</math> :<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}=</math>:<math>=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx=\left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}=</math>:<math>- \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}</math> *שימו לב כי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>cos(n\pi)=(-1)^n</math> *סה"כ אם ההמשך המחזורי של <math>x^2</math> שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא::<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math> *נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב <math>\pi</math>.*<math>\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}</math>*ונקבל את הסכום המפורסם ::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>
