שינויים
/* תזכורת לגבי מרחבי מכפלה פנימית והיטלים */
==הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה==
===תזכורת לגבי מרחבי מכפלה פנימית והיטלים===
*פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות בהן יש אי רציפות סליקות או ממין ראשון (קפיצתי). כמו בן, הגבולות החד צדדיים בקצות הקטע הם סופיים.
*פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם היא רציפה למקוטעין בכל תת קטע סופי.
*E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין <math>f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}</math> מעל השדה <math>\mathbb{C}</math>.
*<math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math> היא מכפלה פנימית מעל E.
*נביט בנורמה המושרית <math>||f||^2=\langle f,f\rangle</math>
*כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית. *יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).*ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית. *תהי קבוצה אורתונורמלית סופית <math>\{e_1,...,e_n\}</math> הפורשת את המרחב , ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
*לכל וקטור <math>v\in V</math> נגדיר את ההיטל של <math>v</math> על W על ידי <math>\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i</math>
*מתקיים כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>
**הוכחה:*מתקיים כי *<math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>**<math>\langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>**המעבר האחרון נכון כיוון ש <math>\{e_1,...,e_n\}</math> אורתונורמלית.*מסקנה: <math>(v-\widetilde{v})\perp \widetilde{v}</math>**הוכחה:**<math>\langle v-\widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = 0</math>
*מתקיים כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math>
**הוכחה
