שינויים
/* הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה */
*תהי קבוצה אורתונורמלית סופית <math>\{e_1,...,e_n\}</math>, ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
*לכל וקטור <math>v\in V</math> נגדיר את ההיטל של <math>v</math> על W על ידי <math>\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i</math>
*נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה: *מתקיים כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle=\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**הוכחה:
**<math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**<math>\langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**המעבר האחרון נכון כיוון ש <math>\{e_1,...,e_n\}</math> אורתונורמלית.
*מתקיים כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math>
**הוכחה:**<math>\langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>**נזכור כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>.**לכן קיבלנו כי <math>||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2</math> *מסקנה חשובהמיידית: <math>||\widetilde{v}||\leq ||v||</math> ====אי שיוויון בסל====*כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית <math>\{e_1,e_2,...\}</math>.*לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>**הוכחה:**ראינו שלכל n מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>.**כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי <math>||v||^2</math> ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו. *בפרט נובע כי :<math>\lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0</math>
===למת רימן לבג===
*הוכחנו כי
