שינויים
/* הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה */
:<math>\lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0</math>
===למת רימן לבג===
*הוכחנו ראינו כי<math>\{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\}</math> היא קבוצה אורתונורמלית ב<math>E</math> (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).*כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:*לכל <math>1\leq n\in \mathbb{N}</math> הגדרנו <math>a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle</math>, ו<math>b_n=\langle f,\sin(nx)\rangle</math> *נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.*כלומר::<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0</math>:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0</math> *למת רימן-לבג: תהי <math>g</math> רציפה למקוטעין בקטע <math>[0,\pi]</math>, אזי::<math>\lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0</math>*הוכחה:**<math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt</math>**נגדיר את שתי הפונקציות <math>h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> ו <math>h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math>**קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין, כלומר <math>h_c,h_s\in E</math>.**ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)sin(nt)dt \to 0</math>
