שינויים
/* דוגמא */
*תהי <math>f</math> ההמשך המחזורי של <math>x</math>.
:[[קובץ:x_fourier.png|1000px]]
*כיוון ש<math>f</math> שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.*כיוון ש<math>f</math> שf הינה אי-זוגית, לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>a_n=0</math>.
:<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx =
-\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math>
*לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי:
:<math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) </math>.
*בפרט, לכל נקודה <math>x\in (-\pi,\pi)</math> מתקיים כי:
:<math>x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>
*עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
*קל לראות שאכן לכל <math>x=\pi+2\pi k</math> נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).
*נציב לדוגמא <math>x=\frac{\pi}{2}</math> ונקבל:
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(\frac{n\pi}{2}) </math>
*לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math>
*שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>.
