===טור הנגזרת===
*תהי <math>f</math> גזירה רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין בקטע.
*נסמן את מקדמי הפורייה של <math>f</math> ב<math>a_n,b_n</math>
*נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>:
:<math>\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}</math>
*שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ :**כיוון שהנגזרת אינטגרביליתרציפה למקוטעין, וf היא הקדומה שלה אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.**בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.**אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעהקטעים הסגורים, מרבית ערכי f יצטמצמו, ונשאר רק עם הקצוות.***לדוגמא: ***<math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = \int_{-1}^0 (-1)dx + \int_{0}^1 (1)dx = (-x)|_{-1}^0+(x)|_0^1 = 0-1 + 1-0 = 1-1</math>***כלומר קיבלנו כי <math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = (|x|)_{-1}^{1}</math>, כאשר <math>(|x|)' = \frac{x}{|x|}</math>