*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין.
*נסמן <math>d_n=\sup_{[-\pi,\pi]}|f-S_n|</math>
*הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר <math>d_n\to 0</math>.
*לכן <math>||f-S_n||^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f-S_n|^2dx \leq 2d_n^2 \to 0</math>
=====דוגמא=====
*הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> מקיימת את דרישות המשפט.
*נזכור כי טור הפורייה שלה הוא:
:<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>
*לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי:
:<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4dx = \frac{4\pi^4}{18}+\sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math>
:<math>\frac{2\pi^4}{5}-\frac{4\pi^4}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math>
*ולכן:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}</math>