*ולכן:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}</math>
====הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי====
=====הקדמה=====
*תהי <math>f \in E</math>, אנחנו מעוניינים להוכיח כי <math>||f-S_n||\to 0</math>.
*נבנה סדרת פונקציות <math>f_n</math> רציפות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימות <math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>, כך שהנגזרות שלהן <math>f_n'</math> רציפות למקוטעין, המקיימות:
:<math>||f-f_n||\to 0</math>
*יהי <math>\varepsilon</math>, נבחר <math>n</math> כך ש <math>||f-f_n||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.
*נסמן ב<math>T_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של <math>f_n</math>.
*ראינו כי <math>\lim_{m\to\infty}||f_n-T_m||=0</math>.
*כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:
**<math>||f-S_m||\leq ||f-T_m||</math>
*כמו כן, <math>||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m||</math>
*קיים מקום החל ממנו לכל <math>m</math> מתקיים כי <math>||f_n-T_m^n||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.
*לכן החל ממקום זה <math>||f-S_m||<\varepsilon</math> כפי שרצינו.