**<math>||f-S_m||\leq ||f-T_m||</math>
*כמו כן, <math>||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m||</math>
*קיים מקום החל ממנו לכל <math>m</math> מתקיים כי <math>||f_n-T_m^n||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.
*לכן החל ממקום זה <math>||f-S_m||<\varepsilon</math> כפי שרצינו.
=====בניית סדרת הפונקציות=====
*נתון כי <math>f</math> אינטגרבילית, ולכן קיים ניתן לבחור סכום דרבו כך שרימן <math>|\int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx - S(f,P)|<\frac{1}{n}</math>.כך ש:**ניקח את פונקצית המדרגות g המוגדרת על ידי הגובה של המלבנים מסכום הדרבוהרימן.
**כמובן ש<math>\int_{-\pi}^{\pi} gdx = S(f,P)</math>.
**מתקיים כי <math>\int_{-\pi}^\pi |f-g|^2dx < \frac{1}{n}</math>
*כעת נגדיר את <math>f_n</math> להיות g, פרט לשינויים הבאים:
**עבור <math>\delta</math> נבחר שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את המדרגות במקטעים הנקודות בקצוות המקטעים <math>[x_i-\delta,x_i]</math>.**נגדיר <math>f_n(-\pi)=g(\pi)</math>.
**נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע <math>[x_0,x_0+\delta]</math>.
*עבור <math>\delta</math> קטנה מספיק, <math>\int_{-\pi}^{\pi}|f_n-g|dx ^2dx < \frac{1}{n}</math>.
*סה"כ נקבל כי
**<math>f_n</math> מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה למקוטעין, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.
**<math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>
**אכן מתקיים כי <math>||f-f_n||\leq ||f-g||+||g-f_n||\to 0</math>
===יחידות טור פורייה===