שינויים
/* פתרון משוואת החום */
===פתרון משוואת החום===
*נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה <math>u(x,t)</math>:
**<math>u_t-ku_{xx}=0</math>
**<math>u(x,0)=f(x)</math> (תנאי התחלה)
**<math>u(-\pi,t)=u(\pi,t)</math> (תנאי שפה)
**<math>u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)</math> (תנאי שפה)
**כאשר <math>x\in[-\pi,\pi]</math>, ו<math>t\in[0,\infty)</math>
*על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.
*נחפש פתרון מהצורה <math>u(x,t)=X(x)\cdot T(t)</math>.
*נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל:
:<math>X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)</math>
*נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק:
:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}</math>
*כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים:
:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=\lambda</math>
*כעת נפתור את המד"רים בנפרד:
*שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.
**עבור <math>\lambda=0</math>:
***<math>X_0(x)=cx+\frac{a_0}{2}</math>, ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי <math>c=0</math>
***<math>T_0(t)=1</math> (הקבוע יבלע בקבוע של <math>X_0(x)</math>)
**עבור <math>\lambda\neq 0</math>:
***<math>X= a_{\sqrt{\lambda}} \cos(\sqrt{\lambda}x) + b_{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda}x)</math>
***<math>T=e^{-k\lambda t}</math> (הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב<math>X(x)</math>)
*ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור <math>\lambda=n^2</math> הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה, ולכן גם צירוף לינארי שלהן כיוון שהמד"ח הומוגנית.
*צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טור הנגזרות יתכנס במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).
*לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה:
:<math>u(x,t)=T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-kn^2 t}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))</math>
*כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים <math>a_n,b_n</math>.
*נציב כעת בתנאי ההתחלה <math>u(x,0)=f(x)</math> ונקבל בעצם את טור הפורייה:
:<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה.
