====טור פורייה המרוכב====
*לא קשה לוודא כי <math>\{\frac{e^{inx}}{\sqrt{2}}\}_{n\in\mathbb{Z}}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית בE.אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית::<math>\langle f,g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x),\overline{g(x)}dx</math>
*תהי <math>f\in E</math>, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:
:<math>f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,\frac{e^{inx}}{\sqrt{2}}\rangle \frac{e^{inx}}{\sqrt{2}}</math>
*כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n}) </math>
*נשים לב כי עבור <math>n=0</math> נקבל:
:<math>\frac{1}{2}\langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2}</math>
*כעת עבור <math>n>0</math> מתקיים:
:<math>\frac{1}{2}[\langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx}] =</math>:<math>= \frac{1}{2}[(\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) + (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)]=</math>:<math>= 2\langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + 2\langle f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)= </math>
:<math>=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
*(שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)
*כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!
===הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות===
*טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.
*בהנתן גל <math>e^{inx}</math>, מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם):
:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx</math>
*(שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו <math>-i</math>).
*מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל <math>e^{isx}</math> נמצא את ה'אמפליטודה':
:<math>F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx</math>.
*כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה <math>F(s)</math> נקראת '''התמרת פורייה''' של הפונקציה <math>f</math>.
*באופן כללי (כלומר לא במדויק):
**<math>F(s)</math> מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.
**לעומת זאת, <math>f(x)</math> מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.
**לכל תדר <math>s</math> יש שני גלים שמייצגים אותו, <math>e^{\pm isx}</math>.
**כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.
*נסמן ב<math>G</math> את אוסף הפונקציות <math>g</math> הרציפות למקוטעין ב<math>\mathbb{R}</math>, עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס <math>\int_{-\infty}^\infty|g(x)|dx<\infty</math>.
*לכל <math>f\in G</math> התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.
**הוכחה:
**<math>\int_{-\infty}^\infty|f(x)e^{-isx}|dx = \int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx</math> מתכנס.
**כיוון שהאינטגרל המגדיר את <math>F(s)</math> מתכנס בהחלט, הוא מתכנס.
==הרצאה 7==