שינויים
/* הרצאה 8 - התמרה הפוכה */
**לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה מתקיים:
***<math>\int_0^\pi h(t)D_n(t)dt \to \pi \cdot \frac{h(0^+)}{2} = \frac{\pi}{2}</math>
====טענת עזר====
*תהי <math>f\in G</math> ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי:
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{0} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^-)}{2}</math>
*נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה.
*נגדיר את הפונקציה <math>g(t)=\begin{cases}f(x+t)& x\in [\pi,\infty)\\ 0 & x\in (-\infty,\pi)\end{cases}</math>
*כיוון ש<math>f\in G</math> נובע שגם <math>g\in G</math> הרי <math>\left|\frac{f(x+t)}{t}\right|\leq |f(x+t)|</math> עבור <math>t>\pi</math>.
*לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי <math>\lim_{s\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(st)dt = 0</math>
*בפרט מתקיים גבול הסדרה:
**<math>\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt =0</math>
*אבל <math>\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt = \int_\pi^\infty \frac{f(x+t)}{t}\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt</math>
*לכן נותר להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
*נגדיר את הפונקציה <math>h(t)=f(x+t)\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math>.
**אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של <math>\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math> נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים.
**לכן הפוקנציה <math>h</math> רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות.
*כעת נשים לב כי:
**<math>\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt
= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)D_n(t)dt</math>
**לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל<math>\frac{h(0^+)}{2} = \frac{f(x^+)}{2}</math>.
===הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה===
