שינויים
/* משמעות ההתמרה */
*נביט בפונקצית הגל <math>u_ku_n(x)=e^{2\pi i kn\frac{t}{N}x}</math>.
*נציב בה את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
:<math>v_kv_n= \left(u_ku_n(0),u_ku_n(\frac{1}{t}),...,u_ku_n(\frac{N-1}{t})\right) = \left( 1,e^{2\pi i k n \frac{1}{N}},e^{2\pi i k n \frac{2}{N}},...,e^{2\pi i k n \frac{N-1}{N}} \right)</math>
*נציב בפונקציה הנתונה f את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
:<math>v=\left(f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})\right) = (a_0,...,a_{N-1})</math>
*לכן אנו מעוניינים בפתרון למשוואה:
:<math>v=B_0v_0+...+B_{N-1}v_{N-1}</math>
*זה בדיוק אומר שהפירוק של הפונקציה לגלים מתקיים בכל נקודות הדגימה:
:<math>f(\frac{k}{t}) = B_0u_0(\frac{k}{t})+...+B_{N-1}u_{N-1}(\frac{k}{t})</math>
*נבחן את הקבוצה <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math>.
:<math>\langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N</math>
*עבור <math>n\neq m</math>:
:<math>\langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i (n-m) \frac{k}{N}}</math>
*אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{N-1}</math> עבור <math>q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}}</math>
*שימו לב ש<math>\frac{|n-m|}{N}<1</math> ולכן <math>q\neq 1</math>.
*כמו כן, שימו לב ש<math>q^N = e^{2\pi i (n-m)}=1</math>
*לכן לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית נקבל כי:
:<math>\langle v_n,v_m\rangle = \frac{1-q^N}{1-q}=0</math>
*כלומר גילינו כי <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math> קבוצה אורתוגונלית (לא אורתונורמלית) ומהווה בסיס.
*לכן ניתן בקלות לחשב את המקדמים <math>B_n = \frac{\langle v,v_n\rangle}{N}</math>
*לבסוף, נשים לב כי:
:<math>\langle v,v_n\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n \frac{k}{N}} = A_n</math>
*כלומר <math>B_n = \frac{A_n}{N}</math>
====התמרת פורייה הבדידה ההפוכה====
*מכאן גם ניתן להסיק ישירות את התמרת פורייה ההפוכה, שמחזירה את סדרת המקדמים <math>A_n</math> לסדרת הדגימות <math>a_n</math>.
:<math>v=\frac{1}{N}(A_0v_0+...+A_{N-1}v_{N-1})</math>
*ולכן:
:<math>a_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} A_k e^{2\pi i k \frac{n}{N}}</math>
