שינויים
/* מבחנים לדוגמא */
[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=מבחנים לדוגמא=
*[[מדיה:20ForierTestA.pdf|מועד א' תש"ף]]**[[מדיה:20ForierTestASol.pdf|פתרונות סופיים למועד א' תש"ף]]*[[מדיה:20ForierTestB.pdf|מועד ב' תש"ף]]*[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf|מבחן לדוגמא סמסטר ב' תשע"ט]]**[[מדיה:19ForierExmplTestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשע"ט]]*[[מדיה:19ForierTestA.pdf|מועד א' סמסטר בתשע"ט]]**[[מדיה:19ForierTestASol.pdf|פתרון חלקי מאד מועד א' תשע"ט]]*[[מדיה:19ForierTestB.pdf|מועד ב' סמסטר תשע"ט]]**[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
=תקציר ההרצאות=
*כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:
:<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx =
-\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math>
*לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי:
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math>
*שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>.
=====דוגמא 2=====
*נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של <math>\frac{x^3}{3}</math> הוא:
:<math>\frac{x^3}{3} = \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)</math>
=====דוגמא 2=====
:<math>F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx = </math>
:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}</math>
*שימו לב: חישוב האינטגרל שגוי עבור <math>s=0</math>, ניתן להציבו בנוסחא המקורית של האינטגרל או להשתמש ברציפות ההתמרה, שנלמד בהמשך.
==הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה==
*התמרת הנגזרת:
*נניח <math>f,f'\in G</math> ונניח כי <math>f '</math> רציפה ומתקיים כי <math>\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0</math>, אזי:
*<math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math>
**הוכחה:
:<math>\langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N</math>
*עבור <math>n\neq m</math>:
:<math>\langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{nk=0}^{N-1} e^{2\pi i (n-m) \frac{k}{N}}</math>
*אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{N-1}</math> עבור <math>q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}}</math>
*שימו לב ש<math>\frac{|n-m|}{N}<1</math> ולכן <math>q\neq 1</math>.
*(השיוויון נכון בזכות המחזוריות)
*ולכן נקבל:
:<math>v_n v_{N-n} = (1, e^{2\pi i (\frac{(N-n)}{N} - 1)},...,e^{2\pi i (N-1)(\frac{(N-n)}{N} - 1)}) = v_{-n}</math>
