שינויים

*ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [httphttps://www2.mathsamyzaf.com/technion.ac.il/~yoramyfourier/heb-psfourier.html pdf 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס]. עוד ספרים מתמטיים בסגנון ניתן למצוא [https://samyzaf.com/ באתר של סמי זערפני]. 

**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-+k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+-k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0</math>

**ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)\sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)sin\cos(nt)dt \to 0</math>

*גרעין דיריכלה הוא הפונקציה <math>D_n(xt)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math>

*טענה: <math>D_n(xt)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)</math> בכל נקודה <math>t\neq 2\pi k</math>

:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du</math>

====דוגמאות=========דוגמא1=====

:[[קובץ:x_fourier.png|1000px]]*כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.*כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>a_n=0</math>.  *כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים::<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = -\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math>*לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי::<math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) </math>.*בפרט, לכל נקודה <math>x\in (-\pi,\pi)</math> מתקיים כי::<math>x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>*עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.*קל לראות שאכן לכל <math>x=\pi+2\pi k</math> נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).  *נציב לדוגמא <math>x=\frac{\pi}{2}</math> ונקבל::<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(\frac{n\pi}{2}) </math>*לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל::<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math>*שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>. =====דוגמא 2=====*כעת, תהי <math>g</math> ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>.*הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.*הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות <math>x=\pi+2\pi k</math>.*בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל<math>\pm 2\pi</math> (כיוון שהנגזרת של <math>x^2</math> היא <math>2x</math>).*סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).  *כלומר קיבלנו שלכל <math>x\in [-\pi,\pi]</math> מתקיים כי:::<math>x^2=\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>  *שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של <math>x^2</math>, נקבל את טור הפורייה של <math>2x</math>. *האם זה מפתיע?  =====דוגמא 3=====*תהי <math>h</math> ההמשך המחזורי של הפונקציה <math>\begin{cases}x & x\in [0,\pi]\\0 & x\in [-\pi,0)\end{cases}</math>:[[קובץ:x_and_0_fourier.png|1000px]]*שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות. *נחשב את מקדמי הפורייה:  :<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi xdx = \frac{\pi}{2}</math>  :<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\cos(nx)dx = \frac{1}{n\pi}\left[x\sin(nx)\right]_0^\pi - \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \sin(nx)dx = \frac{1}{n^2\pi}\left[\cos(nx)\right]_0^\pi=\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}</math>  :<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)dx = \frac{-1}{n\pi}\left[x\cos(nx)\right]_0^\pi + \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n}</math>  *סה"כ שלכל <math>x\in (-\pi,\pi)</math> מתקיים כי::<math>h(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right]</math>   *שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל<math>x</math> בקטע <math>(0,\pi)</math>.*באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.  ===טור הנגזרת===*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין בקטע.====שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים====*שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:**כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.**בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.**אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.***לדוגמא: ***<math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = \int_{-1}^0 (-1)dx + \int_{0}^1 (1)dx = (-x)|_{-1}^0+(x)|_0^1 = 0-1 + 1-0 = 1-1</math>***כלומר קיבלנו כי <math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = (|x|)_{-1}^{1}</math>, כאשר <math>(|x|)' = \frac{x}{|x|}</math> ====חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת====*נסמן את מקדמי הפורייה של <math>f</math> ב<math>a_n,b_n</math>*נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>:  :<math>\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}</math>  :<math>\alpha_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi +\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = \frac{(-1)^n\left(f(\pi)-f(-\pi)\right)}{\pi}+n\cdot b_n = (-1)^n\alpha_0+nb_n</math>  :<math>\beta_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = -n\cdot a_n</math>  *כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו::<math>f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>*אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו::<math>f'(x)\sim\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)</math>   *במקרה המיוחד בו <math>f(-\pi)=f(\pi)</math> מתקיים כי <math>\alpha_0=0</math> ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט::<math>f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx)</math> ====דוגמאות=========דוגמא 1=====*נזכר בטור הפורייה של <math>x^2</math>::<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>*נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של <math>\frac{x^3}{3}</math>, נסמנם ב<math>a_n,b_n</math>.  *לכל <math>1\leq n</math> נקבל כי::<math>\frac{2(-1)^n\pi^2}{3}+nb_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}</math>:<math>-na_n = 0</math>*כמו כן נחשב את המקדם הראשון::<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{x^3}{3}dx = 0</math>  *נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של <math>\frac{x^3}{3}</math> הוא::<math>\frac{x^3}{3} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)</math> =====דוגמא 2=====*נחשב את טור הפורייה של <math>e^x</math>.*נסמן את טור הפורייה של <math>e^x</math> ב::<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>*כמובן שהנגזרת במקרה הזה שווה לפונקציה, ולכן יש לה בדיוק אותו טור פורייה. *מצד שני, טור הפורייה של הנגזרת צריך להיות::<math>\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx) -na_n\sin(nx)</math>*כאשר <math>\alpha_0=\frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}=\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}</math>  *ביחד נקבל את המשוואות::<math>a_0=\alpha_0</math>:<math>a_n=(-1)^n\alpha_0+nb_n</math>:<math>b_n=-na_n</math>*נציב את המשוואה השלישית בשנייה ונקבל::<math>a_n=\frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}</math>*ולכן:<math>b_n=\frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}</math>  *סה"כ קיבלנו כי טור הפורייה של <math>e^x</math> הינו::<math>\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}\cos(nx) + \frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}\sin(nx)</math>  *כיוון שלהמשך המחזורי של <math>e^x</math> יש אי רציפות קפיצתית ב<math>x=\pi</math>, טור הפורייה שם מתכנס לממוצע <math>\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2}</math>*כלומר, אם נציב <math>x=\pi</math> נקבל::<math>\frac{1}{\alpha_0}\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2} = \frac{1}{2} +\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}</math>*נפשט::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi(e^\pi+e^{-\pi})}{2(e^\pi-e^{-\pi})}-\frac{1}{2}</math> ==הרצאה 4 - התכנסות במ"שושיוויון פרסבל=====תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה===*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך ש <math>f'</math> רציפה למקוטעין.*אזי טור הפורייה של <math>f</math> מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.  *לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה.*נסמן את טור הפורייה ב:<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>*ברור כי:<math>\left|\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right|\leq \frac{|a_0|}{2} + \sum_{n=1}^\infty |a_n|+|b_n|</math>*לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש.  *נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>.*כבר חישבנו ש:**<math>\alpha_0=0</math>**<math>\alpha_n=nb_n</math>**<math>\beta_n=-na_n</math>*לכן ביחד נקבל כי <math>\sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}=\frac{1}{n}\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}</math>*לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים::<math>\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} \leq \sqrt{\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}\sqrt{\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}</math>*לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2</math> מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של <math>f'\in E</math>.**(זכרו שמותר להניח כי <math>f'\in E</math> על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)*לכן <math>\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\right),\left(\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2\right)</math> חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.*לכן סה"כ <math>\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n}</math> חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.  *סה"כ קיבלנו כי <math>\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}</math> מתכנס.*לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר <math>\sum_{n=1}^\infty |a_n|</math> ו<math>\sum_{n=1}^\infty |b_n|</math> מתכנסים, כפי שרצינו.  ===שיוויון פרסבל===*נביט במערכת האורתונורמלית <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}\subseteq E</math>, ותהי <math>f\in E</math>.*ידוע לנו כי <math>a_0=\langle f,1\rangle</math>, ולכן <math>\frac{a_0}{\sqrt{2}}=\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle</math>  *נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב <math>S_n</math>. *<math>S_n</math> היא ההיטל של <math>f</math> על הקבוצה האורתונורמלית <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx)\}</math>**אכן <math>\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^\infty \langle f,\cos(nx)\rangle \cos(nx) + \langle f,\sin(nx)\rangle \sin(nx) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>  *נזכור כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math>**לכן <math>||f-S_n||^2=||f||^2-||S_n||^2</math>.*כמו כן, נזכור כי <math>||\widetilde{v}||^2 = \sum_{i=1}^{n}|\langle v,e_i\rangle|^2</math>**לכן <math>||S_n||^2 = \frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{k=1}^n |a_k|^2+|b_k|^2</math>  *אי שיוויון בסל אומר כי <math>\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>*כלומר::<math>\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 \leq ||f||^2 = \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx</math>*משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון::<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 </math>   *אם נוכיח ש <math>||f-S_n||^2\to 0</math>, נסיק כי <math>||S_n||^2\to ||f||^2</math> וזהו בדיוק שיוויון פרסבל.  ====הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש==== *תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין.*נסמן <math>d_n=\sup_{[-\pi,\pi]}|f-S_n|</math>*הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר <math>d_n\to 0</math>.*לכן <math>||f-S_n||^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f-S_n|^2dx \leq 2d_n^2 \to 0</math>   =====דוגמא=====*הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> מקיימת את דרישות המשפט.*נזכור כי טור הפורייה שלה הוא::<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>  *לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי::<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4dx = \frac{4\pi^4}{18}+\sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math>  :<math>\frac{2\pi^4}{5}-\frac{4\pi^4}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math>  *ולכן::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}</math>  ====הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי====  *תהי <math>f \in E</math>, אנחנו מעוניינים להוכיח כי <math>||f-S_m||\to 0</math>.*נבנה סדרת פונקציות <math>f_n</math> רציפות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימות <math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>, כך שהנגזרות שלהן <math>f_n'</math> רציפות למקוטעין, המקיימות::<math>||f-f_n||\to 0</math>  *יהי <math>\varepsilon</math>, נבחר <math>n</math> כך ש <math>||f-f_n||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.*נסמן ב<math>T_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של <math>f_n</math>.*ראינו כי <math>\lim_{m\to\infty}||f_n-T_m||=0</math>.  *כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:**<math>||f-S_m||\leq ||f-T_m||</math>*כמו כן, <math>||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m||</math>*קיים מקום החל ממנו לכל <math>m</math> מתקיים כי <math>||f_n-T_m||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.*לכן החל ממקום זה <math>||f-S_m||<\varepsilon</math> כפי שרצינו.  =====בניית סדרת הפונקציות===== *f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות.*לכן ניתן לבחור חלוקה <math>P</math> הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש <math>|f(x)-f(c_k)|^2< \frac{\varepsilon}{2\pi}</math> לכל זוג נקודות <math>x,c_k\in [x_{k-1},x_k]</math>.*נבחר נקודות כלשהן <math>c_k</math> בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע <math>f(c_k)</math>.*כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון:**<math>\int_{-\pi}^{\pi} |f-g|^2dx \leq \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1},x_k]}|f(x)-f(c_k)|^2 (x_k-x_{k-1}) \leq \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon}{2\pi}(x_k-x_{k-1}) = \varepsilon</math>*לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל <math>g_n</math> כך ש<math>||f-g_n||<\frac{1}{n}</math>   *כעת נגדיר סדרת פונקציות <math>f_n</math> להיות <math>g_n</math>, פרט לשינויים הבאים:**עבור <math>\delta</math> שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים <math>[x_k-\delta,x_k]</math>.**נגדיר <math>f_n(-\pi)=g(\pi)</math>.**נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע <math>[x_0,x_0+\delta]</math>.*עבור <math>\delta</math> קטנה מספיק, <math>\int_{-\pi}^{\pi}|f_n-g|^2dx < \frac{1}{n}</math>.  *סה"כ נקבל כי **<math>f_n</math> מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.**<math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>**אכן מתקיים כי <math>||f-f_n||\leq ||f-g||+||g-f_n||\to 0</math> ===יחידות טור פורייה=== ====הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?====*תהיינה <math>f,g\in E</math> בעלות אותם מקדמי פורייה.*אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא?  *מקדמי הפורייה של <math>f-g</math> הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל::<math>||f-g||^2=0</math>*לכן <math>f=g</math>. *שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר ש<math>f=g</math> פרט למספר סופי של נקודות. ====האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?====*קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע <math>[-\pi,\pi]</math>, אזי כל מקדמי הטור הם אפס.*יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס.*מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך '''לא''' כל מקדמי הטור הם אפס. ==הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים=====תופעת גיבס===*ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש.*כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה.  *נביט בטור פורייה של הפונקציה x::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>*נסמן ב<math>S_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב::<math>S_m(\pi - \frac{\pi}{m})=\sum_{n=1}^m \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(n(\pi - \frac{\pi}{m})) = \sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m})</math>*כעת,:<math>\sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m}) = 2\sum_{n=1}^m \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{m}\right)}{\left(\frac{n\pi}{m}\right)}\frac{\pi}{m}\to 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx</math>*לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא::<math>\pi-\frac{\pi}{m} - S_m (\pi-\frac{\pi}{m}) \to \pi - 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi (1-\frac{2\sin(x)}{x})dx \approx -0.56</math>*(הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.)*כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף.*אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה <math>\pi</math>, נקבל בערך <math>-0.089</math>.  *לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'.  :[[קובץ:gibs_x.png|1000px]] ===טור הסינוסים וטור הקוסינוסים===*עבור פונקציה <math>f</math> הרציפה בקטע <math>[0,\pi]</math> ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה <math>f^+</math> הזוגית בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>, או ל<math>f^-</math> האי זוגית בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.  *את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>. זה נקרא '''טור הקוסינוסים''' של הפונקציה <math>f</math>.*הוכחה:**<math>f^+</math> רציפה ב<math>[-\pi,\pi]</math>, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן ש<math>f(-\pi)=f(\pi)</math>.  *את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע <math>(0,\pi)</math>. זה נקרא '''טור הסינוסים''' של הפונקציה <math>f</math>.*אם <math>f(\pi)=f(0)=0</math> אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>.*הוכחה:**<math>f^-</math> רציפה כיוון ש<math>f(0)=0</math>, ומתקיים כי <math>f(-\pi)=-f(\pi)=0=f(\pi)</math>.  *חישוב המקדמים:*עבור טור הקוסינוסים:**<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^+\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\cos(nx)dx </math>*עבור טור הסינוסים:**<math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^-\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\sin(nx)dx </math>  ====דוגמאות==== *נחשב טור קוסינוסים של <math>e^x</math>:**<math>a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^xdx = \frac{2}{\pi}(e^\pi-1)</math>**<math>a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^x\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}</math>**הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע <math>[0,\pi]</math>::<math>e^x=\frac{e^\pi-1}{\pi}+ \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}\cos(nx) </math>*לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את <math>\int_0^x</math> בשני הצדדים ונקבל::<math>e^x-1 - \frac{e^\pi-1}{\pi}x = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^3+n}\sin(nx)</math>  *נציב למשל <math>x=0</math> ונקבל את השיוויון::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{e^\pi-1}{2}</math>  *נחשב טור סינוסים של <math>e^x</math>:**<math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^x\sin(nx)dx = \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}</math>**הטור מתכנס בקטע <math>(0,\pi)</math>::<math>e^x=\sum_{n=1}^\infty \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}\sin(nx) </math>   *נחשב טור סינוסים של <math>f(x)=\pi x - x^2</math>.*שימו לב: <math>f(0)=f(\pi)=0</math>.**<math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi x-x^2)\sin(nx)dx = \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} </math>**לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>::<math>\pi x - x^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} \sin(nx)</math>*לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את <math>\int_0^x</math> בשני הצדדים ונקבל::<math>\frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^4}(-\cos(nx)+1)</math>*שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי.  ==הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה=====משוואת החום על טבעת===*נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה <math>u(x,t)</math>:**<math>u_t-ku_{xx}=0</math>**<math>u(x,0)=f(x)</math> (תנאי התחלה)**<math>u(-\pi,t)=u(\pi,t)</math> (תנאי שפה)**<math>u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)</math> (תנאי שפה)**כאשר <math>x\in[-\pi,\pi]</math>, ו<math>t\in[0,\infty)</math>*על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.  *נחפש פתרון מהצורה <math>u(x,t)=X(x)\cdot T(t)</math>.*נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל::<math>X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)</math>*נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק::<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}</math>*כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים.*נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי::<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda</math>  *כעת נפתור את ה[[מד"ר תקציר הרצאות|מד"ר]]ים בנפרד:*שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.**עבור <math>\lambda=0</math>:***<math>X_0(x)=cx+\frac{a_0}{2}</math>, ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי <math>c=0</math>***<math>T_0(t)=1</math> (הקבוע יבלע בקבוע של <math>X_0(x)</math>) **עבור <math>\lambda\neq 0</math>:***<math>X= a_{\sqrt{\lambda}} \cos(\sqrt{\lambda}x) + b_{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda}x)</math>***<math>T=e^{-k\lambda t}</math> (הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב<math>X(x)</math>)  *ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור <math>\lambda=n^2</math> הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה.*גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים.*צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).  *לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה::<math>u(x,t)=T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-kn^2 t}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))</math>*כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים <math>a_n,b_n</math>.*נציב כעת בתנאי ההתחלה <math>u(x,0)=f(x)</math> ונקבל בעצם את טור הפורייה::<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>*אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.*מדוע זה יהיה פתרון? **נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס.**בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור <math>t\in [a,\infty)</math> לכל <math>a>0</math> ולכל <math>x\in[-\pi,\pi]</math>.**לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח. ===התמרת פורייה=== ====טור פורייה המרוכב====*לא קשה לוודא כי <math>\{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית::<math>\langle f,g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math>*תהי <math>f\in E</math>, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם::<math>f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,e^{inx}\rangle e^{inx}</math>*כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא::<math>\sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n}) </math>  *נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב<math>a_n,b_n</math>. *נשים לב כי עבור <math>n=0</math> נקבל::<math>\langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2}</math>*כעת עבור <math>n>0</math> מתקיים::<math>\langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx} =</math>:<math>= (\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) + (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)=</math>:<math>= 2\langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + 2\langle f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)= </math>:<math>=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>*(שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)  *כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל! ====הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות====*טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.*בהנתן גל <math>e^{inx}</math>, מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם)::<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx</math>*(שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו <math>-i</math>).   *מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל <math>e^{isx}</math> נמצא את ה'אמפליטודה'::<math>\mathcal{F}[f](s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx</math>.*כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה <math>\mathcal{F}[f](s)</math> נקראת '''התמרת פורייה''' של הפונקציה <math>f</math>.*הערה - המקדם <math>\frac{1}{2\pi}</math> לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה.  *הערות כלליות: **נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב<math>F(s)=\mathcal{F}(f)(s)</math>.**<math>F(s)</math> מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.**לעומת זאת, <math>f(x)</math> מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.**לכל תדר <math>s</math> יש שני גלים שמייצגים אותו, <math>e^{\pm isx}</math>. **כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.  *נסמן ב<math>G</math> את אוסף הפונקציות <math>g</math> הרציפות למקוטעין ב<math>\mathbb{R}</math>, עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס <math>\int_{-\infty}^\infty|g(x)|dx<\infty</math>.*לכל <math>f\in G</math> התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.**הוכחה:**<math>\int_{-\infty}^\infty|f(x)e^{-isx}|dx = \int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx</math> מתכנס.**כיוון שהאינטגרל המגדיר את <math>F(s)</math> מתכנס בהחלט, הוא מתכנס. =====דוגמאות=====*נמצא את <math>\mathcal{F}(f)(s)</math> עבור <math>f(x)=e^{-|x|}</math>.:<math>2\pi F(s)=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-isx}dx = \int_0^\infty e^{-x}e^{-isx}dx + \int_{-\infty}^0 e^{x}e^{-isx}dx=</math>:<math>=\left[\frac{e^{-x(1+is)}}{-(1+is)}\right]_0^\infty + \left[\frac{e^{x(1-is)}}{1-is}\right]_{-\infty}^0=\frac{1}{1+is} + \frac{1}{1-is} = \frac{2}{1+s^2}</math>*שימו לב - השתמשנו בעובדה ש<math>e^{isx}</math> חסומה, ואילו <math>e^{-x}\to 0</math> כאשר <math>x\to \infty</math>.*לכן סה"כ קיבלנו כי <math>\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}</math>  *נמצא את התמרת הפורייה של <math>f(x)=\begin{cases}|x| & |x|\leq \pi \\ 0 & |x|>\pi\end{cases}</math>:<math>F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx = </math>:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}</math>  *שימו לב: חישוב האינטגרל שגוי עבור <math>s=0</math>, ניתן להציבו בנוסחא המקורית של האינטגרל או להשתמש ברציפות ההתמרה, שנלמד בהמשך. ==הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה=====תכונות ההתמרה===*תהי <math>f\in G</math> אזי <math>F(s)=\mathcal{F}[f](s)</math> רציפה במ"ש ב<math>\mathbb{R}</math>.**הוכחה:**יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש <math>\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> מתכנס, קיים <math>R</math> עבורו <math>\frac{1}{2\pi}\int_{|x|>R}|f(x)|dx <\frac{\varepsilon}{4}</math>**עבור <math>s_1,s_2</math> מתקיים כי <math>|F(s_1)-F(s_2)|\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx</math>**כמובן ש <math>|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq 2</math> ולכן בתחום <math>|x|>R</math> האינטגרל הנ"ל קטן מ<math>\frac{\varepsilon}{2}</math>.**נותר להוכיח שעבור <math>s_1,s_2</math> מספיק קרובים מתקיים כי <math>\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx<\frac{\varepsilon}{2}</math>**נראה כי <math>|e^{ix}-e^{iy}|\leq |x-y|</math>.***<math>|e^{ix}-e^{iy}|</math> הוא המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה.***<math>|x-y|</math> הוא הזווית בינהן, כלומר אורך הקשת בינהן.***אורך הקשת בוודאי גדול או שווה למרחק הישר בין שתי הנקודות.**לכן <math>|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq |x||s_1-s_2|</math>**כיוון ש<math>|x|\leq R</math> והפונקציה <math>f</math> חסומה בתחום זה, עבור <math>|s_1-s_2|</math> מספיק קטן נקבל את הדרוש.  *רשימת תכונות נוספות של ההתמרה:*<math>\mathcal{F}[f+a\cdot g] = \mathcal{F}[f]+a\mathcal{F}[g]</math>*<math>\mathcal{F}[f](-s) = \overline{\mathcal{F}[f](s)}</math>*אם <math>f</math> ממשית וזוגית, גם <math>\mathcal{F}[f](s)</math> ממשית וזוגית.  *הזזה במרחב הזמן:*אם <math>g(x)=f(ax+b)</math>, אזי <math>\mathcal{F}(g)(s) = \frac{1}{|a|}e^{\frac{isb}{a}}\mathcal{F}[f](\frac{s}{a})</math>*אם <math>a=1</math> אז נקבל שהזזה במרחב הזמן שקולה לסיבוב במרחב התדר (כפל ב<math>e^{isb}</math> משנה את הזוית).  *הזזה במרחב התדר:*<math>\mathcal{F}[e^{ibx}f(x)](s) = \mathcal{F}[f](s-b)</math>*באופן דומה, קיבלנו שסיבוב בזמן שקול להזזה בתדר.  *התמרת הנגזרת:*נניח <math>f,f'\in G</math> ונניח כי <math>f'</math> רציפה ומתקיים כי <math>\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0</math>, אזי:*<math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math>**הוכחה:**<math>\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-isx}dx</math>**נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי**<math>\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty} + \frac{is}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx</math>.**כיוון ש<math>e^{-isx}</math> חסומה, יחד עם הנתון נובע כי <math>(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty}=0</math>.**לכן סה"כ קיבלנו כי <math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math>  *נגזרת ההתמרה:*תהי <math>f\in G</math> רציפה כך ש<math>xf(x)\in G</math> אזי:*<math>\mathcal{F}[xf(x)](s)=i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s)</math>**הוכחה:**<math>i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s) = i \frac{d}{ds} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\frac{d}{ds}e^{-isx}dx = \frac{-i^2}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)e^{-isx} = \mathcal{F}[xf(x)](s)</math>**אנחנו צריכים להצדיק את ההכנסה של הנגזרת אל תוך האינטגרל:***נסמן <math>F_n(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} f(x)e^{-isx}dx</math>***ברור ש<math>F_n(s)\to F(s)</math>, נוכיח שסדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש ולכן מתכנסת לנגזרת של <math>F(s)</math>.***עבור אינטגרל סופי מותר להחליף את סדר הנגזרת והאינטגרל בזכות פוביני.***אכן <math>F_n'(s)</math> מתכנסות במ"ש כיוון שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^\infty |xf(x)|dx</math> מתכנס, והרי <math>|xf(x)e^{-isx}|=|xf(x)|</math> ואכן אינו תלוי בs. ====דוגמאות==== *ראינו כי <math>\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}</math>*לכן על ידי הזזה בזמן נקבל כי:**<math>\mathcal{F}[e^{-|1-2x|}](s) = \frac{e^{\frac{-is}{2}}}{2\pi (1+(-\frac{s}{2})^2)}</math>  *נסמן <math>F(s)=\mathcal{F}[e^{-x^2}]</math>.*כעת <math>\mathcal{F}[xe^{-x^2}] = iF'</math> לפי הנוסחא של נגזרת ההתמרה.*מצד שני, <math>\mathcal{F}[-2xe^{-x^2}] = isF</math> לפי הנוסחא של התמרת הנגזרת.*ביחד נקבל כי <math>isF = -2iF'</math>, ולכן <math>sF=-2F'</math>.*נפתור את המד"ר:**נכפול בגורם אינטגרציה <math>\frac{1}{2}e^{\frac{s^2}{4}}</math> ונקבל <math>(e^{\frac{s^2}{4}}F)'=0</math>**לכן <math>F=Ce^{-\frac{s^2}{4}}</math>**נציב <math>s=0</math>**<math>2\pi C=F(0)=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math>, נחשב אינטגרל מפורסם זה בהמשך. ==הרצאה 8 - התמרה הפוכה== *בטורי פורייה, מקדמי הפורייה היו האמפליטודות של התדרים, וכאשר סכמנו את הגלים קיבלנו חזרה את הפונקציה לפי משפט דיריכלה.*כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל.*האמפליטודה של כל תדר מרוכב <math>e^{isx}</math> היא התמרת הפורייה <math>F(s)</math>, ולכן אנחנו מצפים לקבל:**<math>f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s)e^{isx}ds=\mathcal{F}^{-1}[F](x)</math>   *משפט ההתמרה ההפוכה:**תהי <math>f\in G</math>, אזי בכל נקודה בה קיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים כי:**<math>\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\lim_{n\to\infty}\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>**שימו לב שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math> לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל. ===דוגמא=== *ראינו ש<math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = Ce^{-\frac{s^2}{4}} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-isx}dx</math>*כיוון ש<math>e^{-x^2}</math> רציפה וגזירה, וכיוון ש <math>e^{-\frac{s^2}{4}}\in G</math> לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי:**<math>\mathcal{F}^{-1}[Ce^{-\frac{s^2}{4}}](x) = e^{-x^2}</math>*כלומר <math>e^{-x^2}=\int_{-\infty}^\infty Ce^{-\frac{s^2}{4}}e^{isx}ds </math>*נציב <math>t=\frac{s}{2}</math> ונקבל:**<math>e^{-x^2} = 2C\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}e^{-i(-2x)t}dt = 2C\cdot 2\pi Ce^{-\frac{(-2x)^2}{4}}</math>*ולכן <math>4C^2\pi = 1</math>, ומכאן <math>C=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}</math>  *נזכור בנוסף שראינו כי <math>2\pi C = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx</math>.*לכן נובע כי <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}</math> ===דוגמא===*נביט ב<math>f(x)=\begin{cases}1 & |x|<1 \\ 0 & |x|>1\end{cases}</math>*<math>\mathcal{F}[f](s) = \frac{sin(s)}{\pi s}</math>*<math>\lim \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} \frac{sin(s)}{\pi s}e^{is}ds = \frac{1}{2}</math> (הצבנו x=1, הנקודה בה f אינה רציפה).  ===הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה=== *כעת נוכיח מספר טענות הדרושות לנו לצורך הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה.  ====למת רימן-לבג====*ראינו גרסא של למת רימן-לבג עבור טורי פוריה, לפי מקדמי הפורייה שואפים לאפס.*כעת ננסח ונוכיח גרסא עבור התמרות פורייה:  *תהי <math>f\in G</math>, אזי <math>\lim_{s\to\pm\infty}\mathcal{F}[f](s)=0</math>*(כלומר, האמפליטודות שואפות לאפס כאשר התדר שואף לאינסוף)  *נוכיח את הלמה:  *צ"ל כי<math>\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx =0</math>*נשים לב כי <math>e^{-isx}=\cos(sx)-i\sin(sx)</math>.*לכן מספיק לנו להוכיח כי <math>\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(sx)dx =0</math> (ההוכחה עבור סינוס דומה).*כיוון ש<math>f\in G</math> האינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> מתכנס. *לכן קיים <math>M</math> עבורו <math>\int_{|x|>M}|f(x)|dx<\frac{\varepsilon}{2}</math>.*לכן <math>|\int_{|x|>M}f(x)\cos(sx)dx|\leq \int_{|x|>M}|f(x)|dx < \frac{\varepsilon}{2}</math>*לכן מספיק לנו להוכיח כי עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים <math>|\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx| < \frac{\varepsilon}{2}</math>*(עבור <math>M=\pi</math> ו<math>s\in\mathbb{N}</math> כבר הוכחנו טענה זו בעזרת פרסבל, כעת נשתמש בשיטות אחרות.)  *נשים לב כי בכל קטע מתקיים:**<math>\lim_{s\to\pm\infty}\int_{x_1}^{x_2}\cos(sx)dx = \lim_{s\to\pm\infty}\frac{\sin(sx_2)-\sin(sx_1)}{s}=0</math>*כיוון ש<math>f</math> רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית ב<math>[-M,M]</math>.*לכן ניתן לבחור פונקצית מדרגות <math>h</math> עבורה מתקיים <math>\int_{-M}^M |f-h|dx < \frac{\varepsilon}{4}</math> (האינטגרל על פונקצית המדרגות הינו סכום דרבו תחתון מספיק קרוב).*כמו כן מתקיים:**<math>\int_{-M}^Mh\cos(sx)dx = \sum \int_{x_{i-1}}^{x_i}m_i\cos(sx)dx</math>**כיוון שמדובר בסכום סופי של ביטויים ששואפים לאפס, הסכום גם שואף לאפס.*סה"כ <math>\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx = \int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx + \int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx</math>**מתקיים כי <math>|\int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx|\leq \int_{-M}^{M}|f(x)-h(x)|dx < \frac{\varepsilon}{4}</math>**עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים כי <math>|\int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx|< \frac{\varepsilon}{4}</math>  *סה"כ קיבלנו כי עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים <math>|\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos(sx)sx|<\varepsilon</math>   ====טענת עזר====*תהי <math>f\in G</math> ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי::<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{0} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^-)}{2}</math>  *נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה.  *נגדיר את הפונקציה <math>g(t)=\begin{cases}\frac{f(x+t)}{t}& x\in [\pi,\infty)\\ 0 & x\in (-\infty,\pi)\end{cases}</math>*כיוון ש<math>f\in G</math> נובע שגם <math>g\in G</math> הרי <math>\left|\frac{f(x+t)}{t}\right|\leq |f(x+t)|</math> עבור <math>t>\pi</math>.*לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי <math>\lim_{s\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(st)dt = 0</math>*בפרט מתקיים גבול הסדרה:**<math>\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt =0</math>*אבל <math>\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt = \int_\pi^\infty \frac{f(x+t)}{t}\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt</math>  *לכן נותר להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>*נגדיר את הפונקציה <math>h(t)=f(x+t)\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math>.**אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של <math>\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math> נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים.**לכן הפוקנציה <math>h</math> רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות.*כעת נשים לב כי:**<math>\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)D_n(t)dt</math>**לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל<math>\frac{h(0^+)}{2} = \frac{f(x^+)}{2}</math>.  =====דוגמא=====*טענה::<math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2}</math>  *הוכחה:**ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים.**לכן מתקיים כי <math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx =\lim_{n\to\infty} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx</math>**נבצע הצבה <math>t=\frac{x}{n+\frac{1}{2}}</math> ונקבל כי:***<math>\int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt</math>**עבור <math>f(x)=1</math>, לפי הוכחת טענת העזר נקבל כי הגבול הוא <math>\frac{\pi}{2}</math> ===הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה===*<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-isy}dy\right]e^{isx}ds=</math>*<math>=\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds</math>*נחליף את סדר האינטגרציה (הצדקה בהמשך), ונקבל:*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy =</math>*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \left[\frac{e^{is(x-y)}}{i(x-y)}\right]_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} dy =</math>*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \frac{2\sin\left((n+\frac{1}{2})(x-y)\right)}{(x-y)} dy</math>*נציב <math>t=y-x</math> ונקבל:*<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x+t) \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}</math>כאשר המעבר האחרון הוא בזכות טענת העזר לעיל.  ====הצדקת החלפת סדר האינטגרציה==== *נביט בסדרה <math>u_k(s)=\int_{-k}^k f(y)e^{is(x-y)}dy</math>, שמתכנסת כמובן ל<math>\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy</math>*מתקיים כי <math>|\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy - u_k(s)| \leq \int_{|y|>k} |f(y)e^{is(x-y)}|dy = \int_{|y|>k} |f(y)|dy\to 0</math>**(נתון כי <math>f\in G</math>)*לכן הסדרה מתכנסת במ"ש ומותר לבצע אינטגרציה איבר איבר:**<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} u_k(s)ds</math>**לפי פוביני מותר לנו להחליף את סדר האינטגרציה ונקבל כי**<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-k}^k \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy</math>**שימו לב שהאינטגרל הלא אמיתי אכן מתכנס (כפי שהוכחנו לעיל) ולכן שווה לגבול. ==הרצאה 9 - קונבולוציה, משוואת החום על מוט אינסופי== *תהיינה <math>f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}</math> פונקציות, נגדיר את ה'''קונבולוציה''' ביניהן להיות:**<math>f*g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy</math>.  *מוטיבציה לדוגמא:**אם <math>f,g</math> הן פונקציות צפיפות של משתנים מקריים, מהי פונקציית הצפיפות של סכום המשתנים?**הסיכוי שסכום המשתנים יהיה x, הוא סכום מכפלות הסיכויים שמשתנה אחד יהיה שווה y והשני יהיה שווה x-y.  *הקונבולוציה היא אבלית:**<math>g*f = \int_{-\infty}^\infty g(x-y)f(y)dy = \{t=x-y,dt=-dy\} = \int_{-\infty}^\infty g(t)f(x-t)dt = f*g</math>  *שימו לב: בנושא זה נבצע החלפת סדר אינטגרציה, אך לא נצדיק החלפה זו כיוון שהיא דורשת העמקה רבה.*ניתן להעמיק ע"י קריאה בספר Fourier Analysis של T.W.Korner  *משפט הקונבולוציה:*תהיינה <math>f,g\in G</math> רציפות וחסומות אזי <math>\mathcal{F}[f*g] = 2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]</math>  *הסבר המשפט (לא הוכחה מלאה, כיוון שאנו מחליפים סדר אינטגרציה ללא הצדקה)::<math>\mathcal{F}[f*g] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy\right]e^{-isx}dx = </math>:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dydx =</math>:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dxdy =</math>:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}dx\right] g(y)e^{-isy}dy =</math>:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right] g(y)e^{-isy}dy =</math>:<math>= 2\pi\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right) \cdot \left( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(y)e^{-isy}dy\right) =2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]</math>  ===משוואת החום על מוט אינסופי=== *אם פונקצית החום על מוט אינסופי היא <math>u(x,t)</math>, היא מקיימת את המשוואה <math>u_t-ku_{xx}=0</math>.*נניח גם כי תנאי ההתחלה הם <math>u(x,0)=f(x)</math> (זה החום בכל נקודה במוט בזמן 0).  *נבצע התמרת פורייה של הפתרון לפי המשתנה x::<math>U(s,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)e^{-isx}dx</math>*נגזור לפי המשתנה t::<math>U_t(s,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_t(x,t)e^{-isx}dx</math>*(נניח כי הפתרון מקיים את התנאים שמאפשרים להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה, לא נרחיב על כך בהמשך)*כיוון ש<math>u_t-ku_{xx}=0</math> נקבל כי::<math>U_t(s,t) = \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_{xx}(x,t)e^{-isx}dx</math>*נזכר בנוסחאת התמרת הנגזרת <math>\mathcal{F}[f']=is\mathcal{F}[f]</math>*ולכן נקבל כי::<math>U_t(s,t) = -s^2 \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty u(x,t)e^{-isx}dx = -ks^2 U(s,t)</math>*זו מד"ר פשוטה שפתרונה הוא::<math>U(s,t) = A(s)e^{-ks^2 t}</math>  *נציב את תנאי ההתחלה <math>t=0</math> ונקבל כי:<math>A(s) = U(s,0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,0)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \mathcal{F}[f]</math>*לכן בעצם מתקיים כי <math>U(s,t)= F(s)e^{-ks^2 t}</math>*קיבלנו שההתמרה של הפתרון היא מכפלה של שתי התמרות, ולכן הפתרון הוא הקונבולוציה של שתי הפונקציות המקוריות.  *נחפש את ההתמרה ההפוכה של <math>e^{-ks^2 t}</math>*נזכור כי <math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{s^2}{4}}</math>:<math>\mathcal{F}^{-1}[e^{-ks^2 t}]=\int_{-\infty}^\infty e^{-ks^2 t}e^{isx}ds = \{s=\frac{u}{2\sqrt{kt}}\}=</math>:<math>=\frac{1}{2\sqrt{kt}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{u^2}{4}}e^{iu(\frac{x}{2\sqrt{kt}})}du = \frac{2\sqrt{\pi}}{2\sqrt{kt}} \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{u^2}{4}}](\frac{x}{2\sqrt{kt}}) = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>*נסמן פונקציה זו ב<math>p(x,t)=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>  *לכן עבור פתרון מד"ח החום u מתקיים כי::<math>\mathcal{F}[u] = \mathcal{F}[f]\cdot \mathcal{F}[p]</math>*ולכן לפי משפט הקונבולוציה מתקיים כי:<math> u(x,t) = \frac{1}{2\pi} f*p(x,t)</math>*שימו לב שהקונבולוציה היא לפי המשתנה x.*לכן:<math>u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)p(x-y,t)dy = \frac{1}{2\sqrt{\pi kt}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}}dy</math>  *שימו לב שבפתרון הסופי מופיעה פונקצית תנאי ההתחלה, ואין צורך לחשב את ההתמרה שלה. ==הרצאה 10 - משפט הדגימה של שנון=====משפט הדגימה של שנון===*תהי פונקציה f. ברור שבהנתן הערכים של f על השלמים <math>f(0),f(\pm 1),f(\pm 2),...</math> לא ניתן להסיק כלום על ערכיה האחרים (אפילו אם היא רציפה וגזירה).*בפרט אם נדגום באופן דומה את הפונקציה <math>sin(x)</math> בנקודות <math>2\pi n</math> אנחנו עשויים לחשוד שהיא קבועה לחלוטין.*מה יקרה אם נדגום גל בקצב מהיר יותר מהתדר שלו?*במילים פשוטות, משפט הדגימה של שנון אומר שבהנתן פונקציה שהתדרים שלה חסומים, אם נדגום אותה בקצב מהיר פי 2 מהתדר המקסימלי שלה, נוכל לשחזר אותה לחלוטין.*כעת ננסח את המשפט במדויק, יחד עם ניסוח התנאים הנחוצים על הפונקציות.  *עד כה דיברנו על תדר כמדד לקצב בו הפונקציה חוזרת על עצמה, כעת נגדיר אותו במדויק:*בהנתן פונקציה עם מחזור <math>t</math> נגדיר את התדר של המחזור להיות <math>\frac{1}{t}</math>.*דוגמאות:**התדר של <math>\sin(x)</math> הוא <math>\frac{1}{2\pi}</math>**התדר של <math>\sin(\pi x)</math> הוא <math>\frac{1}{2}</math>**באופן כללי, התדר של <math>sin(\pi t x)</math> הוא <math>\frac{t}{2}</math> כיוון ש <math>\sin(\pi t(x+\frac{2}{t})) = \sin(\pi t x)</math>**התדר של <math>e^{isx}</math> הוא <math>\frac{|s|}{2\pi}</math> כיוון ש <math>e^{is(x+\frac{2\pi}{|s|})} = e^{isx\pm i2\pi} =e^{isx}</math>  *משפט הדגימה של שנון:*תהי <math>f\in G</math> רציפה ובעלת נגזרת חד צדדיות הקיימות בכל נקודה, שתדריה חסומים על ידי <math>t</math>, אזי בהנתן דגימה שלה בתדר <math>2t</math> ניתן לשחזר אותה בכל הממשיים (כלומר היא נקבעת באופן יחיד על ידי הדגימות).*שימו לב: הכוונה בכך שתדריה של הפונקציה חסומים, היא למעשה ש<math>\mathcal{F}[f](s)=0</math> לכל <math>\frac{|s|}{2\pi}>t</math>.  ====הוכחת משפט הדגימה====*כיוון שהתמרת הפורייה מתאפסת מחוץ לקטע <math>[-2\pi t,2\pi t]</math>, ניתן לקבוע כי :<math>\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>*ובפרט האינטגרל מתכנס.*לפי משפט ההתמרה ההפוכה, נובע כי <math>f(x)= \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>  *כעת, נתונה לנו סדרת הדגימות בתדר <math>2t</math>::<math>c_n = f\left(\frac{n}{2t}\right), n\in\mathbb{Z}</math>*נציב אותן בנוסחא שמצאנו לעיל::<math>c_n = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{is\left(\frac{n}{2t}\right)}ds</math>*נבצע הצבה <math>\frac{s}{2t}=-x</math> ונקבל::<math>c_n = \int_{-\pi}^\pi \mathcal{F}[f](-2tx)e^{-inx}dx</math>*אבל אלה בדיוק מקדמי פוריה (פרט לקבוע <math>\frac{1}{2\pi}</math>) של הפונקציה <math>\mathcal{F}[f](-2tx)</math>.*כיוון שההתמרה חסומה בתדר, עבור <math>|x|\geq \pi</math> מתקיים כי <math>\mathcal{F}[f](-2tx)=0</math> (זכרו כי ההתמרה רציפה, ולכן מתאפסת גם בקצוות).*לכן <math>\mathcal{F}[f](-2tx)</math> נקבעת על ידי ערכיה בקטע <math>(-\pi,\pi)</math>, והם נקבעים באופן יחיד על ידי מקדמי הפורייה (מסקנה מפרסבל).*לבסוף, כפי שראינו לעיל, הפונקציה f נקבעת באופן יחיד על ידי ההתמרה (בזכות משפט ההתמרה ההפוכה).  ====הערות====*שימו לב שלא ניתן באופן פרקטי לדגום אות אנלוגי באינסוף נקודות.*מה יקרה אם נדגום במספר סופי של נקודות ונניח כי הפונקציה ממשיכה באופן מחזורי?*נקבל פונקציה שאינה שייכת ל<math>G</math>, כיוון שהאינטגרל שלה לא יכול להתכנס בכל הממשיים.*בהמשך, נראה אנלוגיה למשפט הדגימה של שנון בהתמרת פורייה הבדידה.  ==הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה== ===DFT - Discrete Fourier transform=== *תהי סדרת נקודות <math>a_0,...,a_{N-1} \in \mathbb{C}</math>, התמרת הפורייה הבדידה שלה היא סדרת הנקודות <math>A_0,...,A_{N-1}\in\mathbb{C}</math> המוגדרת ע"י::<math>A_n = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n\frac{k}{N}} </math>  *שימו לב שכמות הפעולות הנדרשות לחישוב ההתמרה באופן ישיר היא סדר גודל של <math>N^2</math>. *התמרת פורייה המהירה (FFT) מבצעת את אותו חישוב בכמות פעולות בסדר גודל של <math>N\log(N)</math>.  ====משמעות ההתמרה==== *תהי פונקציה f. נדגום ממנה <math>N</math> נקודות בתדר <math>t</math>, כלומר נתון לנו::<math>f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})</math>*נסמן נקודות אלה ב<math>a_k=f(\frac{k}{t})</math> *אנו רוצים לפרק אותה לסכום של גלים::<math>f(x)=B_0e^{2\pi i \cdot 0\cdot\frac{t}{N}x}+ B_1e^{2\pi i \cdot 1\cdot\frac{t}{N}x}+B_2e^{2\pi i \cdot 2\cdot\frac{t}{N}x}+...+B_{N-1}e^{2\pi i \cdot (N-1)\cdot\frac{t}{N}x}</math>*כיוון שהתדר של <math>e^{isx}</math> הוא <math>\frac{|s|}{2\pi}</math> נובע כי הגלים הללו הם בתדרים <math>0,\frac{t}{N},\frac{2t}{N},...,\frac{(N-1)t}{N}</math>*שימו לב - ככל שנדגום יותר נקודות נקבל יותר מגוון של תדרים. מצד שני, נביט בחלון זמן יותר ארוך ונפספס שינויי תדרים מהירים יותר.  *נוכיח שפירוק זה תמיד אפשרי כך שיהיה שיוויון בכל נקודות הדגימה, ונקשר בין סדרת המקדמים להתמרת הפורייה של נקודות הדגימה.  *נביט בפונקצית הגל <math>u_n(x)=e^{2\pi i n\frac{t}{N}x}</math>.*נציב בה את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב::<math>v_n= \left(u_n(0),u_n(\frac{1}{t}),...,u_n(\frac{N-1}{t})\right) = \left( 1,e^{2\pi i n \frac{1}{N}},e^{2\pi i n \frac{2}{N}},...,e^{2\pi i n \frac{N-1}{N}} \right)</math>*נציב בפונקציה הנתונה f את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב::<math>v=\left(f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})\right) = (a_0,...,a_{N-1})</math>*לכן אנו מעוניינים בפתרון למשוואה::<math>v=B_0v_0+...+B_{N-1}v_{N-1}</math>*זה בדיוק אומר שהפירוק של הפונקציה לגלים מתקיים בכל נקודות הדגימה::<math>f(\frac{k}{t}) = B_0u_0(\frac{k}{t})+...+B_{N-1}u_{N-1}(\frac{k}{t})</math>  *נבחן את הקבוצה <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math>.:<math>\langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N</math>*עבור <math>n\neq m</math>::<math>\langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i (n-m) \frac{k}{N}}</math>*אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{N-1}</math> עבור <math>q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}}</math>*שימו לב ש<math>\frac{|n-m|}{N}<1</math> ולכן <math>q\neq 1</math>.*כמו כן, שימו לב ש<math>q^N = e^{2\pi i (n-m)}=1</math>*לכן לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית נקבל כי::<math>\langle v_n,v_m\rangle = \frac{1-q^N}{1-q}=0</math>*כלומר גילינו כי <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math> קבוצה אורתוגונלית (לא אורתונורמלית) ומהווה בסיס.*לכן ניתן בקלות לחשב את המקדמים <math>B_n = \frac{\langle v,v_n\rangle}{N}</math>  *לבסוף, נשים לב כי::<math>\langle v,v_n\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n \frac{k}{N}} = A_n</math>*כלומר <math>B_n = \frac{A_n}{N}</math> ====התמרת פורייה הבדידה ההפוכה====*מכאן גם ניתן להסיק ישירות את התמרת פורייה ההפוכה, שמחזירה את סדרת המקדמים <math>A_n</math> לסדרת הדגימות <math>a_n</math>.:<math>v=\frac{1}{N}(A_0v_0+...+A_{N-1}v_{N-1})</math>*ולכן::<math>a_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} A_k e^{2\pi i k \frac{n}{N}}</math>  ====מסקנות לגבי גלים ממשיים====*פירקנו את הפונקציה לסכום של גלים מרוכבים בנקודות הדגימה, האם ניתן להשתמש בהתמרה על מנת לקבל פירוק לגלים ממשיים?  *ראשית, נשים לב לתופעה הבאה::<math>v_{N-n} = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N}},...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N}}) = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N} - 2\pi i },...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N} - 2\pi i (N-1)})</math>*(השיוויון נכון בזכות המחזוריות)*ולכן נקבל::<math>v_{N-n} = (1, e^{2\pi i (\frac{(N-n)}{N} - 1)},...,e^{2\pi i (N-1)(\frac{(N-n)}{N} - 1)}) = v_{-n}</math>  *כלומר פירוק הפונקציה לגלים <math>u_0,u_1,...,u_{N-1}</math> נותן את אותם המקדמים כמו פירוק הפונקציה לגלים <math>u_0,u_1,u_{-1},...</math>.*כאשר המקדם של <math>u_{-n}</math> שווה למקדם של <math>u_{N-n}</math>.*שימו לב שזה לא פירוק של הפונקציה לסכום הגלים בכל הממשיים, אלא רק בנקודות הדגימה.  *לדוגמא:*נניח שיש לנו 5 דגימות של f.*אם נפרק את f לגלים <math>u_0,u_1,...,u_5</math> נקבל <math>v=B_0v_0+...+B_4v_4</math>*אם נפרק את f לגלים <math>u_{-2},u_{-1},u_0,u_1,u_2</math> נקבל <math>v=B_3v_{-2},B_4v_{-1}+B_0v_0+B_1v_1+B_2v_2</math>*במצב זה, אם דגמנו בתדר <math>t</math> נקבל את התדרים <math>0,\frac{t}{5},\frac{2t}{5}</math> שזה מתאים למשפט הדגימה של שנון (טווח התדרים של הפונקציה הוא עד חצי מתדר הדגימה).  *עבור n ספציפי מתקיים כי::<math>B_ne^{2\pi i n \frac{t}{N}x} + B_{N-n}e^{-2\pi i n \frac{t}{N}x} = (B_n+B_{N-n}) \cos (2\pi n \frac{t}{N}x) + i(B_n-B_{N-n})sin(2\pi n \frac{t}{N}x)</math>*מהצבה ישירה של הנוסחאות שמצאנו ניתן לראות שאם f ממשית אזי <math>B_n+B_{N-n}</math> וגם <math>i(B_n-B_{N-n})</math> הם ממשיים.*כלומר הצלחנו לפרק את f לסכום של גלים ממשיים עם מקדמים ממשיים.  *הערה: אם N זוגי, אז הגל <math>u_{\frac{N}{2}}</math> נותר בודד.*לדוגמא עבור <math>N=4</math> נקבל במקום הגלים <math>u_0,u_1,u_2,u_3</math> את <math>u_{-1},u_0,u_1,u_2</math>*נשים לב כי במקרה זה <math>v_{\frac{N}{2}}</math> הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה.