שינויים
/* אינטגרל עזר */
====אינטגרל עזר====
*טענה:
:<math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2}</math>
*הוכחה:
**ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים.
**לכן מתקיים כי <math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx =\lim_{n\to\infty} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx</math>
**נבצע הצבה <math>t=\frac{x}{n+\frac{1}{2}}</math> ונקבל כי:
***<math>\int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt</math>
**כעת נסדר את האינטגרל:
***<math>\int_0^\pi \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \int_0^\pi \frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt</math>
**נסמן <math>h(t)=\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math>, ונשים לב שמדובר בפונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות (למעשה אם נתקן את אי הרציפות הסליקה נקבל טור טיילור).
**לכן קיבלנו:
***<math>\int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi h(t)D_n(t)dt</math>
**לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה מתקיים:
***<math>\int_0^\pi h(t)D_n(t)dt \to \pi \cdot \frac{h(0^+)}{2} = \frac{\pi}{2}</math>
