הבדלים בין גרסאות בדף "פונקצית האקספוננט"

גרסה מ־18:42, 20 ביוני 2021

בערך זה נגדיר את פונקצית האקספוננט ונוכיח תכונות חשובות שלה.

אמנם יש דרכים אחרות להגדיר את e וחזקות של מספרים, אנחנו נציג גרסא מבוססת על כלים מתקדמים (טורי חזקות) המתאימה גם לשדה המספרים המרוכבים.

הקדמה

לכל $x\in\mathbb{C}$ נגדיר את פונקצית האקספוננט

e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

(קל לוודא כי טור החזקות הנ"ל מתכנס בכל שדה המרוכבים.)

נגדיר את המספר e להיות

e^1 =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}

הקוראים עשויים להזדעק ולומר שהסימון $e^x$ שמור לחזקה של שני מספרים; ובכן, אנחנו נגדיר חזקה של שני מספרים באמצעות האקספוננט ונוכיח את התכונות המוכרות של פעולת החזקה.