גרסה אחרונה מ־11:30, 3 באוקטובר 2010

${n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - לקראת המבחן

שאלות

המבחן=

באיזה בניין וחדר יהיה המועד ב' בבדידה?

הפגישה

באיזה שעה הפגישה והיכן?

פקטור

היה פקטור במבחן?

תשובה

כן

חלוקת הציון

כיצד מחלקים את הציון? כמו בלינארית או שהבוחן ייחשב לכולם? ואם כן באיזה אופן? תודה מראש, גל.

ציונים

מישהו יודע מתי יהיו ציונים?

שאלה חשובה ממבחן

בכמה דרכים ניתן לחלק 40 עטים ממוספרים $(1,2,...,40)$ בין 30 סטודנטים?

לא הבנתי את השאלה:

האם צריך לחלק את כל ה-40, כך שיהיו 10 סטודנטים שיקבלו 2 עטים? או לחלק רק 30 עטים?
האם מותר שחלק מהסטודנטים יקבלו 0 עטים? למשל - כל העטים לסטודנט אחד?

אגב, תשובה סופית של השאלה תעזור לי מאוד, בשביל לבדוק את עצמי.

תשובה (לא מתרגל)

כל האפשרויות הללו תופסות. אני הייתי פותר את השאלה כך: עבור כל עט יש שלושים אפשרויות, ולכן בסה"כ יש $30^{40}$ אפשרויות. האם זה פתרון נכון?

אני מניח שהכוונה ל40 עטים ספציפיים, כלומר לא יכול להיות שעט מספר 2 יהיה אצל שני תלמידים.

נו?תסתכל על זה כך - לעט 1 יש 30 אפשרויות (תלמיד 1 עד תלמיד 30) וגם לעט 2 יש 30 אפשרויות וגם ... וגם לעט 40 יש 30 אפשרויות. ולכן בסה"כ התשובה שציינתי מתקיימת

צודק, טעות שלי.

הוכחת יחס בפרט

אם נתונה קבוצה B סופית ודי קטנה (כ-5 איברים) ואומרים יהי R יחס על B, הוכיחו ש-R יחס סדר חלקי (או שקילות, לא משנה). האם אני יכולה לכתוב בצורה מפורשת את R ופשוט לכתוב בצורה מפורשת למה היא טרנזטיבית, רפלקסיבית ואנטי סימטרית (או סימטרית), או שאני חייבת לעשות את זה באופן כללי ולא מפורש?

2007 מועד ב'

קישור: http://www.bis.org.il/download_Img.asp?file_name=278200810428508.pdf

בשאלה 1 צריך לרשום בצורת CNF ו-DNF שתי פונקציות שהן ביטוי לוגי. אין לי מושג על מה מדובר, אבל זה לא בחומר - נכון?

שאלה 2 על דטרמיננטות - אני אמורה לדעת לפתור אותה ושאלה דומה יכולה להופיע במבחן מועד ב'? (אני עם אפי, למדנו דטרמיננטות שיעור אחד)

בשאלה 4-ג',ד' ובשאלה 5 צריך להסביר משהו או רק לתת תשובה סופית?

מבחן 2007 מועד א'

קישור: http://www.bis.org.il/download_Img.asp?file_name=208200823203518.pdf

בחלק II שאלה 3 (שצריך להוכיח באינדוקציה), הבדיקה עבור n=1 יצאה לא נכונה! יש טעות בתרגיל או שאני טועה?

בבקשה תענו!

דרך אגב, כל חלק III הוא לא בחומר, נכון?

אה ועוד משהו: יש למישהו פתרונות של המבחן הזה? או לפחות פתרונות סופיים? אם מישהו פתר אותו, אז שיכתוב פה ונשווה :).

במיוחד חשובה לי השאלה בקומבינטוריקה: 1-ב', יצא לי 208.

בקשה לפקטור

המבחן היה ברמה קשה מאוד אז נשמח לקבל פקטור. תודה!

  אני בטוח שבגלל שביקשת יהיה פקטור :) (לא שאני מתנגד )

מצטרפת!

מצתרף, וזה בלי קשר לבעיות הרבות שהיו, הפסקת חשמל, בעיות בתופס, ועוד.. או לפחות שיקימו מועד מיוחד כדי שהמועד ב' לא תיהיה ההזדמנות האחרונה, זה די מלחיץ, וגם באמת שהתנאים והרמה לא היו בסדר, בהצלחה לכל מי שהולך למועד ב'

שאלות על הפתרון

בשאלה של התמורות, קבעתם את A להיות הקבוצה שבה איבר זוגי מסויים מופיע במקומו, ואז חישבתם את הסכום של כל הקבוצות האלו. אבל זה בעצם החיתוך של המשלימים, אז צריך לעשות את סך כל האפשרויות פחות הסכום שיצא, לא? ולגבי השאלה עם השוויון בין הסיגמות, אתם יכולים לכתוב את הפיתרון? (הוא לא מופיע). תודה!

פתרון המבחן

שלום. אתם יכולים בבקשה לפרסם את הפתרון של המבחן? תודה!

הצלחה במועד ב'

שלום. אני נבחנתי במועד א' ונראה לי שנכשלתי ככה שגם בסופי יהיה לי ציון נכשל. אבל זה בכלל לא אומר שבמהלך כל הקורס ישבתי עם פה פעור ולא הבנתי מילה. עכשיו אני צריכה לגשת למועד ב', ובו אני רוצה להצליח. לא להצליח 80, אלא להצליח 100 לפחות. אני מוכנה לחרוש בשביל זה כמה שצריך, ואפילו יותר. אבל אני רוצה שהחרישה תהיה יעילה כמה שאפשר. אז מתרגלים, בתור מי שהצליחו באיזה קורס או שניים, בבקשה תספרו מנסיונכם, מהי הדרך הכי אפקטיבית ללמוד למבחן? מה ייתן לי את מירב הסיכויים לקבל 100?

תודה מראש!

אני עדיין מחכה לתשובה, בבקשה...

אני לא בטוח שהם עוד עוכבים אחרי הדף הזה, אבל אולי אם תשאל את השאלה בדף השיחה של אחד המתרגלים הם יענו לך (למשל שיחת משתמש:ארז שיינר ושיחת משתמש:Adam Chapman. את רשימת כל מפעילי המערכת (רובם מתרגלים) תמצא כאן). אור שחף, שיחה, 00:36, 10 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה לך :)

תשובה

קודם כל יש לוודא שיש לך את כל החומר מההרצאות ושאת מבינה כל דבר ודבר שנעשה בהרצאה (אחר כך כנ"ל לגבי התרגילים)
יש לעבור על מבחן מועד א' ולוודא שאת מבינה בדיוק איפה טעית, ואיך היית מקבלת 100 אם היית נגשת אליו.
יש לפתור את כל תרגילי השנה ומבחנים משנים קודמות, דבר ראשון מבלי להסתכל בפתרונות, ולאחר מכן לוודא שפתרת נכון
תנסי לקבוע שעת קבלה עם המתרגל שלך או מתרגל אחר בקורס שלך (עדיף באמצעות המייל, לא כולם עוקבים אחרי הדף הזה בשלב זה, כמו שאור ציין).
אני אציין שמה שאמרתי הוא כללי מכיוון שאיני מתרגל בדידה ולכן איני יכול לכוון יותר למקצוע הזה. הכוונה נוספת תוכלי לקבל ממתרגלי בדידה.

בהצלחה,

ארז שיינר 00:52, 10 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה רבה!!

מבין הדברים שכתבת, משנה מה אעשה קודם ומה אחר כך? ובשביל מה שעת קבלה?

שעת קבלה לשאול שאלות (אם יש) וגם להתייעץ לגבי הלימודים ספציפית לקורס. לגבי הסדר, אני חושב שנוח לעבוד לפי נושאים הרצאה-תרגול-תרגיל בית (כלומר להבין את ההרצאה בנושא ואז את התרגול בנושא ואז תרגיל בית בנושא ואז לעבור לנושא הבא). אחרי שיש שליטה בחומר עוברים למבחנים ודברים דומים.

עוד 2 שאלות קצרות ואחרונות בהחלט!

יש לי עוד 2 שאלות קצרות שאפשר לענות עליהם עם תשובה סופית בלבד.

האם

P(AxB)=P(A)xP(B)

נניח A=}1,2,3,{. מספר היחסים על A הוא 2 בחזקת 9 (לפי תשובה לשאלה קודמת), נכון? ומספר יחסים השקילות על A, איך מחשבים את זה? מחשבים אז זה בצורה אחרת, על ידי מספר מחלקות השקילות האפשריות נכון? המחלקות האפשריות הן 1,2,3; 12,3; 1,23; 2,13; 123; כלומר 5? או שיש לי טעות? תודה!

תשובה

התשובה היא לא. $P(A \times B) = P(A) \times P(B)$ זה שקר ברוב המקרים. אם $A=\{1,2\}$ ו $B=\{3,4\}$ אז $\{(1,3),(2,4)\} \in P(A \times B) \setminus P(A) \times P(B)$ . הכי טוב להבין זאת דרך עוצמות. $|P(A \times B)|=2^{|A| \cdot |B|}, |P(A) \times P(B)|=2^{|A|+|B|}$ .

הוספתי לאחר התנגשות עריכה -לא. נניח בשלילה שזה נכון, אזי:

	עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): $2^{\|A\|\cdot\|B\|}$	$=$	עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): $\|\mathcal P(A\times B)\|$
קיימות $A$ ו- $B$ כך ש:	עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): $2^{\|A\|+\|B\|}$	עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): $\not=$
	עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): $2^{\|A\|}\cdot2^{\|B\|}$	$=$
	עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): $\|\mathcal P(A)\times\mathcal P(B)\|$	$=$

בסתירה לכך שאם שתי קבוצות שוות אז עוצמתן שווה. אור שחף, שיחה, 14:38, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה! ובקשר לשאלה השנייה, עם מספר היחסים על A, צדקתי או שיש לי טעות? תודה

לא משנה כבר, בהצלחה!

2 שאלות, אם מתרגל עדיין נמצא פה..

-אם יש נוסחת נסיגה לא הומוגנית, שהאיבר החופשי שלה, במקום להיות מחובר מהצורה $a^n*q(n)$ הוא פשוט מספר ללא n, לדוגמה 4, (כלומר: נוסחת נסיגה לדוגמה תהיה an=an-1+an-2+4) מה מציבים בנוסחת הנסיגה? פשוט k ללא n? או 4 בחזקת n כפול k? כי אם מציבים ביטוי ללא n, יש בעיה שהיא- מה להציב בan-1 וכו'. -אם אפשר עזרה נוספת בנוגעלשאלה הנל, תודה

תשובה

אם משוואת ההפרשים היא משהו בסגנון $f(n+k)=a_1 f(n+k-1)+\dots+a_k f(n)+c$ כאשר c הוא קבוע (דהיינו מספר שלא תלוי בn) אז מחפשים פיתרון פרטי של משוואת ההפרשים שיהיה פונקציה קבועה, למשל $h(n)=b$ ואז פותרים את המשוואה $b=a_1 b+\dots+a_k b+c$ ומקבלים פיתרון $b=\frac{c}{1-(a_1+\dots+a_k)}$ וממשיכים באלגוריתם לפיתרון נוסחת הנסיגה כרגיל. Adam Chapman 12:55, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה!

עוד אפשרות

אם לא בא לך לזכור את כל המקרים אפשר להפוך את 4 ל- $(1^n)*4$

שאלה לסיום

למדנו את הכלל-a כפול b= למקסימום של הערכים. האם אפשר להסיק: תהי k עוצמה. מכפלת k בעצמה שווה לk?

תשובה

ראשית להבהיר, למדנו את המשפט הזה לגבי עוצמות אינסופיות, עבור סופיות כמובן שזה לא עובד. ושנית המכפלה תהיה שווה ל-k רק אם העוצמה קטנה או שווה ל-k

שיבוצי הכיתות

בניין 605

הקבוצה של אפי:
חדר 101: מסטודנט אבני תומר עד מלמד שירן
חדר 102: מסטודנט מרזוק חופית עד שרקנסקי אלה

הקבוצה של שי:
חדר 103: מסטודנט אבוטבול עומר עד כרמל רום
חדר 104: מסטודנט לביא גל עד שרעבי רועי

חוקי עוצמות

אחד החוקים שכתוב לי במחברת הוא שעבור עוצמות a,b,d מתקיים: אם $a<b$ אז $a^d<b^d$ . השאלה היא מהן העוצמות a,b,d, האם זה גם עבור עוצמות סופיות?

השאלה היא בהמשך לדוגמה נגדית שמישהו נתן: $2<3$ אבל 2 בחזקת א0 שווה 3 בחזקת א0.

תשובה

כנראה זה קטן שווה, גם אם d=0 יש שוויון

כן, כנראה. תודה. בכל מקרה, תשובה חד משמעית ממתרגל תעזור. אולי אפשר ממש להגיד מתי קורה השוויון, ואז להגביל a,b,d כך שהוא לא יקרה אף פעם?

אני לא מתרגל, אבל לפי דעתי אם זה גדול ממש זה לא תורם יותר מדי, לעומת זאת אם זה גדול שווה זה מראה על קיום פונ' חחע מצד אחד ופונ' על מצד שני.

תשובת מתרגל

אני כן מתרגל, והאמת היא שאם קבוצות מקיימות $|A| \leq |B|$ אם ורק אם קיימת פונקצייה על מB ל A שזה קורה אם ורק אם יש פונקצייה חח"ע מA לB. המשמעות של $|A| < |B|$ היא שקיימת פונקצייה על מB לA אך לא קיימת פונקצייה על מA לB, שזה קורה אם ורק אם קיימת פונקצייה חח"ע מA לB אך לא קיימת פונקצייה חח"ע מB לA. בהצלחה במבחן היום! Adam Chapman 12:28, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

טעות שלי, החוק באמת כתוב עם שווה גם במחברת.

מתי המבחן?

בשלוש וחצי או ארבע? האם התשובה היא ב100 אחוז? תודה!

בארבע, זה הרי מה שנכתב כאן ובמערכת המידע האישי...

ואיפה?

שוב, מערכת מידע אישי ולפי מספר קורס 88195 (ולאחר מכן 08 עבור אפי 11 עבור שי) תוכל לראות באיזה חדר אתה משובץ

שאלה 1, סעיף 4 בדף רקורסיה

שלום רב,

אם מבקשים ממני את מספר תתי הקבוצות של $\{1,...,n\}$ שבהן יש מספרים עוקבים (ביחס רקורסיה), האם מותר לי לפתור כך:

" עפ"י הסעיף הקודם (סעיף 3) קיבלנו שמספר האפשרויות לתתי הקבוצות של הקבוצה הנתונה בהן אין מספרים עוקבים בכלל הוא $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$ . מכיוון שלכל תת קבוצה יש שתי אפשרויות (שתכיל עוקבים או שלא תכיל עוקביים) ויש בסה"כ $2^n$ תתי קבוצות אז נגדיר $g(n)$ להיות מספר הקבוצות בהן יש מספרים עוקבים ולכן $g(n)=2^n-f(n)=2^n-f(n-1)-f(n-2)$ ?"

אם לא, איך אני יכול לפתור? תודה, גל.

תרגיל 2

איפה התשובות של שאלות 8,9? (http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf)

אפשר עזרה בשאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'?

אני כבר ממש מיואש, כל פונקציה שאני בונה יוצאת לא חחע ולא על! זאת שאלה ממש קשה, אבל גם ממש חשובה למבחן, אז אפשר, בבקשה, פתרון או הכוונה? תודה!

תשובה

בשאלה הזו לא מצפים ממך לבנות פונקציה כי אם להשתמש בחוקים אלמנטריים שאתה יודע בחשבון עוצמות. ההוכחה שמצופה מכם היא כזו:

מצד אחד $2^\lambda>\lambda$ ולכן $(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda$ . מאידך, $2 \leq k \leq 2^\lambda$ ולכן $2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda$ ולכן $k^\lambda=2^\lambda$ .Adam Chapman 19:33, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אני פשוט לא מאמין, סתם ישבתי לי ובניתי פונקציות..

בכל מקרה, לא הבנתי אף אחד מהשלבים שעשית! קראתי שוב לאט, ובטוח גם אם הפתרון שלך נכון אז חסר בו פירוט הכרחי באיזשהו מקום- איך אתה יודע שK בחזקת גימל שווה ל2 בחזקת גימל?

כי

2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda

לימדו אתכם בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל

\lambda<k

מתקיים

k^\lambda=k

. גם לימדו אתכם בהרצאה שאם עוצמה k קטנה מקיימת

\gamma \leq k \leq \gamma

אז

k=\gamma

. אלו הם שני החוקים שהשתמשתי בהם בהוכחה הנ"ל. Adam Chapman 19:48, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

לא!!! התכוונתי לאיך אתה יודע את כל אחד מ2 השלבים האלה! ברור לי שאם אתה יודע שאחד גדול מהשני והשני גדול מהראשון אז על פי קנטור ברנשטיין יש שוויון!!את התוצאה

2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda

פשוט המצאת. כמו כן פשוט כתבת שאם

2^\lambda>\lambda

אז

(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda

וש

2^\lambda>\lambda

אז

(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda

בלי להסביר! מאיפה הבנת את הדברים האלה?? אתה יכול להסביר בבקשה למה K בחזקת גימל גדול מ2 בחזקת גימל ולמה להפך?? תודה

לימדו בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל

\lambda<k

מתקיים

k^\lambda=k

. במשפט הזה תחליף את k ב-

2^\lambda

(אינסופי כי

\lambda

אינסופית נתון). ידוע ש-

\lambda<2^\lambda

לפי קנטור. לכן לפי המשפט הזה,

(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda

חוץ מזה, ידוע שכאשר a,b,c עוצמות: אם a<b, אז

a^c<b^c

ולכן אם נתון

2 \leq k \leq 2^\lambda

אז

2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda

(העלינו הכל בחזקת

\lambda

והשיוויון ממה שהוכחנו קודם). זהו עכשיו לפי קנטור ברנשטיין מ.ש.ל. אגב אני לא מתרגלת אבל מקווה שעזרתי.

תודה על העזרה, אדם, אני ממש לא רוצה להעליב, אבל אי אפשר להבין כשישר כותבים תוצאה. אבל נראה לי שיש פה טעות, כי למשל למשפט אם a<b, אז

a^c<b^c

אני יכול לתת דוגמה נגדית. ודבר שני, אני ממש לא זוכר שלמדנו בהרצאה את מה שאת ואדם אמרתם שלמדנו. תודה

איזו דוגמה נגדית? (שים לב ש-c זו עוצמה, לא משלים. הסימונים שהשתמשתי בהם הם לא משהו..) אם אתה עם אפי, אז החוק הזה כתוב לך בעמוד האחרון שלפני קומבינטוריקה (מצחיק, הרגע שמתי לב שכל התרגיל הזה הוא חוק מספר 8 שכתוב שם במדוייק).

את מה שאדם כתב אין לי במחברת. בכלל, בקושי יש חוקים שלמדנו על עוצמות כלשהן (כשלא ידוע מהי העוצמה). אם הייתה רשימה של כל החוקים האלו זה היה כ-ל-כ-ך עוזר!

למשל, 2 בחזקת א0 שווה ל3 בחזקת א0, לא?

וואלה, נראה לי שאתה צודק... אז אולי החוק הזה הוא אם a,b,c עוצמות אינסופיות? לא יודעת. יש איזה מתרגל שיכול לעזור פה?

תשובת מתרגל (אע"פ שהתשובת המתרגל כבר רשומה למעלה)

אני מתרגל, ואין לי מושג מי היה המתרגל או המרצה שלכם, חברה, אך נדמה לי שלא רשמתם במחברתכם את כל מה שנאמר בהרצאות או בתרגולים. אני נתתי את רשימת החוקים של חשבון עוצמות גם בתרגול שלי וגם בתרגול העזר של הקורס. שני החוקים שרשמתי למעלה (בפרט הראשון) הם נכונים ונוסחם הוא בדיוק מה שניסחתי לכם למעלה. בהצלחה במבחן! Adam Chapman 12:31, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

בעיות ענקיות עם הרכבת פונקציות... -עזרה בבקשה..-

זהו המשך לשאלה ששאלתי קודם, השאלה. אני ממש, ממש תקוע, בסעיף א' כיוון שמאלה, ובסעיף ב' שני הכיוונים (אדם, כנראה שלא הבנתי את הפתרון שלך). למשל ב-ב', אם f חחע, אז לפי מה שהבנתי (וגם בדקתי את זה!) היא הפיכה משמאל ולא מימין. לכן קיימת פו' כך ש hf=id. אבל זה ממש בעייתי ולא עוזר לפתור את הבעיה, כי צריך להוכיח שלכל תמונה של פי, כלומר לכל gf, קיים מקור g, אבל איך אפשר להוכיח את זה, הרי גם אם נרכיב את ההופכי של f משמאל, יצא hgf, שזה לא נותן כלום! מה עושים? (אם אפשר תשובה מפורטת גם לזה וגם לסעיפים\כיוונים האחרים) תודה רבה!

תשובה

אכן הייתה לי טעות בהקלדה אך כדאי שתקרא את התשובה שרשמתי למטה שוב.

עכשיו אולי אוסיף משהו שיסייע להבנה:

אם אתה רוצה להוכיח שפי היא על אתה צריך לקחת איבר בטווח ולהראות שיש לו מקור ,כלומר איזשהו g כך שgf שווה לאיבר בטווח שלקחת. אף אחד לא אומר לך שהאיבר בטווח הוא מן הצורה gf. זה מה שאתה צריך להוכיח!

אתה צריל לקחת איבר כללי בטווח, אותו $\psi$ ומראה שקיימת g כך ש $\psi=g \circ f$ . זה מה שעשיתי בוהכחה למטה. אני ממליץ לך לקרוא אותה שוב.79.180.9.140 19:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

לא הבנתי את המשפט:"לכל פונקציה

\psi \in C^A

יש מקור

g=\psi \circ h \in C^B

לפי פונקציה

\Phi

, כי

\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi

", באמת שלא הבנתי למה G שווה לפסי הרכבה H ומה זה אומר "לפי פונקציה פי". אפשר הסבר קצת מפורט יותר? תודה!

אתה צריך להראות שקיימת g כך ש

\psi=g \circ f

. לא נתונה לך g שאתה צריך להוכיח שהיא

g=\psi \circ h \in C^B

. אתה יכול לבחור איזו g שאתה רוצה. אתה רק צריך להסביר למה אותה g שבחרת היא מקור לפסי. אני בחרתי את g להיות הפונקציה

\psi \circ h

והראיתי שהיא אכן מקור לפסי. מכיוון שפסי הוא שרירותי זה אומר שהראיתי שלכל פסי שרירותי קיים מקור, ולכן פי היא על. כדי להראות שקיים מקור לאיבר אתה צריך לציין את המקור הפוטנציאלי ולהראות שהוא אכן מקור. המקור הוא לא מ שנתון לך. Adam Chapman 19:42, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אבל איך אתה יכול לדעת שg יכולה להיות מורכבת מפונקציה פסי ומהפונקציה h? ובאותה צורה, איך זה שאתה בוחר "פסי שרירותי" אם אתה קובע שהפסי הזה הוא הרכבה של g ושל f? אשמח לתשובה מפורטת ומובנת הפעם, שלא אצטרך לשבור את הראש כדי לנסות להבין אותה! תודה רבה!

g יכולה להיות פסי הרכבה h משום שהמקור של פסי צריך להיות פונקציה מB לC ופסי הרכבה h הינה פונקציה מB לC. אני אכן בחרתי פסי שרירותי לא קבעתי שהוא הרכבה של g על f. אני בחרתי פסי שרירותי הראיתי שניתן למצוא לו מקור. מהו אותו מקור? אותו מקור הוא פסי הרכבה h. לכל פונקציה פסי מA לB, התמונה של פסי הרכבה h היא פסי ותמונה של פי מכילה את כל הפונקציות מB לC, דהיינו פי היא על.

שמע, ידידי, אין לי מושג איך לסייע לך מעבר לכך. כל מה שאני יכול לומר זה שאני ממליץ לך להוכיח כתרגיל שהפונקציה $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ שמקיימת לכל $x \in \mathbb{Z}$ , $f(x)=x+1$ היא על, ואז תראה שמבחינה אלגוריתמית אין הבדל בין ההוכחה הזו להוכחה שרשמתי לך למעלה. בהצלחה במבחן! Adam Chapman 12:42, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

הפרכה בעזרת דוגמה

בתרגיל 2 שאלה 5.ב, למה אי אפשר לתת דוגמה בשביל להפריך טרנזטיביות? הרי אם מראים שקיים B מסויים מאוד שעבורו אין טרנזטיביות, אז כבר R לא טרנזטיבי...לא?

השאלה: http://www.math-wiki.com/images/8/87/10BdidaTargil2.pdf

התשובה: http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf

תשובה

כן. אפשר לעשות גם את זה. אני לא חושב שעבור B ספציפי להראות שאין טרנזיטיביות יותר קצר מלהראות פשוט שאין טרנזיטיביות. מספיקה העובד שB מכיל שני איברים שונים. Adam Chapman 19:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה 1ג מועד א 2008

שלום רב, האם ההוכחה שלי לשאלה 1ג נכונה?

" נניח בשלילה שהחיתוך המתבקש אינו שווה לקבוצה ובה הקבוצה הריקה, ולכן משום שהקבוצה הריקה היא איבר המשותף לכל קבוצות החזקה קיימת קבוצה $X\in P(A)$ ושמקיימת גם $X\in P(B)$ (נשים לב שקבוצה זו שונה מהקבוצה הריקה)....... בסוף נקבל ש- $X\subseteq A \bigcap B$ ולכן החיתוך אינו קבוצה ריקה, וזו סתירה?"

כמובן שעם פירוט של כל השלבים באמצע. תודה מראש, גל.

אישור

תשובה נכונה בהחלט. Adam Chapman 18:52, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה

מהי עוצמת הקבוצה של קבוצות שאינן סופיות ואינן קו-סופיות (שהמשלים שלהן אינו סופי) מתוך הטבעיים? האם זה א כי קבוצה של קבוצות אינסופיות? או לא? תודה!

תשובה

התשובה היא $\aleph$ אך לא כי "קבוצה של קבוצות אינסופיות". הקבוצה $\{\mathbb{N},\mathbb{R}\}$ היא קבוצה של קבוצות אינסופיות המכילה שני איברים בדיוק. בלי קשר, כפי שלמדנו, המונח "אינסופי" הוא בעל משמעות מאוד רחבה בקורס הזה ולא ניתן להיעזר במונח הזה כדי לטעון אמיתות של תשובה מדוייקת כמו $\aleph$ .

העוצמה של הסופיות היא $\aleph_0$ וזו גם העוצמה של הקוסופיות. העוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים היא $\aleph$ . אחד מן החוקים שלימדנו אתכם לגבי חשבון עוצמות הוא שכשלוקחים קבוצה אינסופית ומפחיתים ממנה תת-קבוצה בעוצמה קטנה ממש ממנה אז העוצמה לא קטנה, ולכן אחרי שמפחיתים את תת-הקבוצות הסופיות ותת הקבוצות הקוסופיות מכלל תת-הקבוצות של הטבעיים נשארים עם קבוצה שעוצמתה $\aleph$ . Adam Chapman 18:45, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

למה העוצמה של הסופיות היא

\aleph_0

וזו גם העוצמה של הקוסופיות?

אהה. הנחתי שאת זה עברנו אם הגענו כבר לשאלה מה הגודל של ההפחתה. OK, אז ככה:

הגודל של תת-הקבוצות בגודל k (סופי) הוא לפחות $\aleph_0$ מצד אחד, ומאידך הוא אינו עולה על $\aleph_0^k$ , ומכיוון שלk סופי מקבלים שמספר תת הקבוצות בגודל k הוא $\aleph_0$ . כעת, קבוצת התת-קבוצות הסופיות היא איחוד זר של קבוצת תת הקבוצות מגודל אחד עם תת הקבוצות מגודל 2 וכו'. דהיינו, הגודל של קבוצת תת הקבוצות הסופיות הוא $\aleph_0 \cdot \aleph_0$ , שזה בעצם (לפי מה שלמדנו) $\aleph_0$ .

יש התאמה חח"ע ועל בין הקבוצות הקוסופיות לקבוצות הסופיות ע"י שליחת קבוצה למשלימה, ולכן עוצמת תת הקבוצות הקו-סופיות גם היא $\aleph_0$ .Adam Chapman 19:04, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה רבה!!

פרטים בקשר למבחן

בחלק מהמקומות כתוב שהמבחן ב4 ובחלק 3 וחצי, אפשר שעה (וגם מיקום, אם אפשר) סופיים? תודה!

הרכבה ריקה

אם $S=\{(a,b)\}$ ו- $R=\{(b,c)\}$ אז S הרכבה R זו קבוצה ריקה, או "לא קיים"?

תשובה

"לא קיים" זה מונח בעייתי. מונח יותר נכון הוא "לא מוגדר". בהינתן יחסים R בין A לB וS בין C לD, ההרכבה $S \circ R$ מוגדרת אם B=C. (כמו בפונקציות) במקרה שהצגת למעלה אני מניח שהתכוונת שS וR הם יחסים על A כלשהי שמכילה את a, b וc, ואז התשובה היא באמת קבוצה ריקה. Adam Chapman 18:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה. אני התכוונתי ש-S יחס מ-A ל-B ו-R יחס מ-B ל-C, אם כך התשובה פה היא לא מוגדר, אם הבנתי נכון.

הבנת נכון.Adam Chapman 18:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

סריג

אפשר בבקשה דוגמה לסריג?

תשובה

$\{a,b,c,d \}$ עם היחס סדר חלקי "<" כדלקמן : a>b,a>c,b>d,c>d.

Adam Chapman 18:31, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

לפי ההגדרה, לכל שני איברים צריך להיות סופרימום ואינפימום. אתה יכול בבקשה לכתוב מהם לכל שני איברים?

אם תיקח שני איברים שאחד גדול מהשני תקבל שהסופרימום הוא הגדול בין השנים והאינפימום הוא הקטן בין השניים. הקושיה היחידה שנותרה היא מה קורה בין c לb ובמקרה זה האינפימום הוא d והסופרימום הוא a. Adam Chapman 18:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אה, נראה לי שהבנתי. תודה. אבל "<" הוא לא יחס סדר חלקי, לא? (למשל אין רפלקסיביות)

"<" מעל המספרים הטבעיים הוא יחס סדר מלא (ולכן גם יחס סדר חלקי). פה הוא רק סימון. במקומו יכולתי לרשום R או כל דבר אחר. סתם נוח לי לרשום "<" כי אז ברור מה "כיוון" הסדר (כדי למנוע בלבול מקסימלי-מינימלי).Adam Chapman 19:36, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אבל איך? הרי אין רפלקסיביות...

תשובה לשאלות על התשובה

נו! כשכתבתי ">" יחס סדר חלקי התכוונתי שהוא מקיים רפלקסיביות+ את היחסים שרשמתי+את היחסים שמקבלים מתוך היחסים שרשמתי בהינתן הטרנזיטיביות של היחס. אם אתה רוצה שארשום את כל הזוגות בצורה מפורטת אז הנה: $R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,a),(c,a),(d,a),(d,c),(d,b)\}$ . מקווה שזה יסייע להבנה.Adam Chapman 19:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

וואו, זה מבלבל. תודה וסליחה על ההטרחה.

שאלה על אחת השאלות פה

מה זה: "מספר היחסים על קבוצה בעלת n איברים"? מה הכוונה?

מספר היחסים מA לA (למשל "קטן מ" בקבוצה של מספרים)

תודה. הכוונה לכל יחס אפשרי? אז יש אינסוף! למשל: קטן, גדול, מקיים

a-b \in Z

, מקיים

a^2=b

ועוד ועוד ועוד... נראה לי שלא הבנתי.

ולמה זה הגודל של

P(A \times A)

העובדה שרשמת שלוש נקודות לא את הופכת הרשימה לאינסופית. יחס, כפי שלמדתם, הוא תת קבוצה של

A\times A

. הרי בין כל זוג סדור של איברים מהקבוצה יכול להתקיים היחס או לא להתקיים. היחס הוא הקבוצה של כל הזוגות הסדורים בינהם מתקיים היחס. בפרט, כל קבוצה המוכלת ב

A\times A

מהווה יחס אחד. אוסף כל היחסים הינו אוסף כל תתי הקבוצות הנ"ל וזה בדיוק

P(A\times A)

. ארז שיינר 15:15, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אההה.. הבנתי. תודה! (ומה שאני רשמתי הוא אמנם אינסופי, כי למשל

a^n=b

לכל

n \in N

הוא יחס נפרד, אבל יש שם יחסים שקולים כי הקבוצה סופית).

בדיוק, ומעל קבוצה אינסופית כמו השלמים בהחלט יש אינסוף יחסים. ארז שיינר 15:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'

אני לא מאמין, כתבתי עכשיו עשרות שורות של הפתרון שלי כדי לשאול אם הוא נכון, אבל זה נמחק לי =[. אז פשוט אשאל, אם אפשר, בבקשה, פתרון נכון לשאלה 3 סעיף ב', איזה פונקציה חח"ע ועל אפשר לעשות? זו שאלה קשה אז אני בטוח שיש עוד הרבה שירצו גם פתרון. תודה!!

אני גם בדיוק עושה אותה אבל יש לי דרך תיאורטית שאני לא בטוח שהיא נכונה. הרי יודעים שK בין 2 ל2 בחזקת ג, אם מראים שבשני מקרי הקצה של K הוא שווה ל2 בחזקת ג זה לא מספיק כדי להוכיח שוויון תמידי? זה קצת מוזר שלסעיף הזהיש 5 נקודות ולסעיף הראשון יש 10, הוא הרבה יותר קל

מצטערת בשבילך שהכל נמחק, בפעם הבאה אחרי כל כמה שורות תעתיק את כל מה שכתבת ואז תוכל להדביק במקרה הצורך.

שאלה 2 מועד ב' 2008

יש לי פתרון אבל אשמח מאם מישהו (עדיף מתרגל) ייתן את הפתרון כדי שאני אהיה בטוח, אני אנסה לכתוב את הפתרון שלי כאן: $(-1)^n*{1519-101n \choose 20}$ ${1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}$ שיאללה אני לא מאמין שהצלחתי לכתוב את זה

אני לא מתרגל, יצא לי דומה לשלך רק שהכנסתי את הגורם הראשון לתוך הסכום, וגם נראה לי שצריך להוסיף כמה פעמים כל חיתוך של קבוצות מופיע, למשל יש 2 מתוך 20 פעמים חיתוך 2 Ai ים (אם עשית את זה בעיקרון הכלה והדחה וצריך לצאת בערך כמו שלך רק עם i מתוך 20 בתוך הסכום

כן כן שמתי לב לזה עכשיו, כתבתי את החלק של הכמה יש מתוך בדף אבל התלהבתי כל כך שהצלחתי לכתוב את זה באתר ששכחתי להוסיף, התוצאה שלי היא כזאת:

 $((-1)^n*{1519-101n \choose 20}*{20 \choose n})$  ${1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}$

האמת שעכשיו אני לא בטוח אם זה צריך להיות ${1519-101n \choose 20}$ או ${1519-101n \choose 20-n}$

איך להוכיח (2008 מועד ב' שאלה 1 א')

האם אפשר להוכיח ככה, או שיש דרך אחרת? נניח $f(x1,u1)=f(x2,u2)$ וכן $f(x1,u1)={v1 (muchal-be) u1 | x1 (shayach-le) v1}, f(x2,u2)=cmo-x1,u1$ ולכן לכל V1, V2 שמוכלים בU1, U2 מתקיים V1=V2 ולכן U1=U2 וגם x1=x2? משהו לא נכון בהוכחה הזאת נכון? אז איך מוכיחים? תודה!

תשובה+הערות כתיבה

1)אם רוצים לרשום לכתוב "}" אז כותבים }\ ואם רוצים לכתוב "{" אז כותבים {\.

2) "מוכל ב" כותבים (כשצד שמאל מוכל בצד ימין) subseteq\ וכשצד ימין מוכל בצד שמאל supseteq\. מוכל ממש זה אותה פקודה רק בלי הeq.

3) "שייך" ל רושמים (כשצד שמאל שייך לצד ימין) כin\ וכשצד ימין שייך לשמאל רושמים ni\.

עכשיו לגבי התשובה:

התשובה שלך איננה נכונה משום שאתה מנסה להוכיח טענה שהיא שקרית, דהיינו ניתן לתת לה דוגמאות נגדיות. A כוללת לפחות שני איברים שונים, נסמנם x1 וx2. כעת $f(x_1,\{x_2\})=\emptyset=f(x_2,\{x_1\})$ , משמע f לא חח"ע. Adam Chapman 18:54, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלות 2א+ב מועד ב 2009

שלום רב, כיצד עליי לנמק בפתרון השאלה 2א? התחלתי את הפתרון כך:

"ישנם $n$ מספרים בקבוצה ולכן סך כל האפשרויות לתמורות שונות הוא $n!$ . כמו כן קיבלנו שתי אפשרויות:

1. $n$ לפני $n-1$

2. $n$ אחרי $n-1$ "

השאלה שלי היא איך אני מנמק לאחר מכן שקיימות $0.5n!$ תמורות כנדרש:

1. "...לכן לכל תמורה שתי אפשרויות ולכן בסה"כ יש $0.5n!$ תמורות שעונות לתנאי זה".

2. "כעת נגדיר $A$ קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 1, $B$ קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 2. כמו כן נגדיר פונקציה $f:A->B$ ע"י לכל $x$ ב- $A$ יתקיים ש $f(x)=y$ כאשר $y$ היא התמורה בה איברי $x$ מופיעים בסדר הפוך (כלומר התמורה $1,2$ תהפוך ל- $2,1$ ). פונקציה זו חח"ע ועל ולכן $|A|=|B|$ ומכיוון שהחיתוך ביניהם זר הרי שאפשר לומר ש- $|A|+|B|=2|A|=|C|$ (כאשר $C$ היא קבוצת כל התמורות). נציב $|C|=n!$ ונקבל את העוצמה הדרושה של $A$ ...".

הבעיה היא שדרך 1 נקראית לי לא מפורטת מספיק ודרך 2 היא די ארוכה. בסעיף א זה עוד נסבל אבל בסעיף ב זה בכלל נורא כי כבר קיימות 6 אפשרויות (ואז עליי לבנות 6 פונקציות) אז איך עליי לנמק את מה שאמרתי? תודה מראש, גל.

תשובה

אני לא מתרגל אך יש לי את הפתרון שאדם כתב באחד התרגולים שלו. כמו שאמרת, יש סך הכל $n!$ אפשרויות לסדר את המספרים. ניתן לחלק מספר זה של אפשרויות ל2 חלקים: חלק ראשון הוא האפשרויות ש $n-1$ מופיע לפני $n$ והחלק השני הוא ההפוך- $n$ מופיע לפני $n-1$ , ניתן לראות כי 2 חלקים אלה הם שווים, נניח אתה בודק את מספר האפשרויות בהן $n-1$ מופיע לפני $n$ , אז מספר האפשרויות ההפוך הוא אותו מספר כיוון שהפעם החלפת בכל אפשרות בין $n$ ל $n-1$ , ולכן התוצאה היא $0.5n!$ . בסעיף ב' אתה משתמש בתוצאה של סעיף א' ואתה יודע שהיא מתחלקת ל-3 אפשרויות ובאותו אופן כמו בסעיף א' גם 3 אפשרויות אלה הן שוות ולכן בסך הכל התוצאה היא $1/6n!$ . אני שוב אומר שאני לא מתרגל אבל זאת הדרך בה אדם פתר את התרגיל הזה

הערונת

אתה מתכוון ל6 אפשרויות ולא שלוש (כל אפשרות שקולה לתמורה על שלושה איברים ומסםר התמורות על 3 איברים הוא 6), ולכן התוצאה שרשמת שהיא שישית ממספר התמורות על n איברים היא נכונה. Adam Chapman 18:09, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תשובה להערונת

התכוונתי שיש 3 אפשרויות כאשר יודעים כבר ש $n$ מופיע לפני $n-1$ , 3 אפשרויות אלה הן כאשר $n-2$ מופיע לפני שניהם, בניהם או אחרי שניהם (זה המספר שמחפשים), ובאותו אופן כמו בסעיף הקודם, גם פה 3 האפשרויות האלה שוות, ולכן כל אחת מהן שווה ל $1/6n!$ וסכומן שווה ל $0.5n!$ :) אבל תאכלס אפשר לעשות את זה שוב מההתחלה כשלא מתייחסים לסעיף א' ויש $n!$ אפשרויות סך הכל ואז מחלקים את זה ל!3 אפשרויות שוות, כלומר 6.

סבבה, זו גם דרך. רק עשה לי טובה, במקרים כאלה במבחן, אם אתה מניח הנחות יסוד כאלו, כמו שאתה מדבר על "אפשרויות כאשר יודעים כבר ש

n

מופיע לפני

n-1

, 3", אז רשום זאת! אל תיתן לבודק לנחש את זה, כי זה עלול להוריד נקודות. מספיק שרשמת את שתי המילים האלו וזה כבר ניקוד מלא. בהצלחה במבחן! Adam Chapman 12:48, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה קצרצרה נוספת

מספר היחסים על קבוצה בעלת n איברים, זה בעצם מספר הפונקציות מA לA, כלומר n בחזקת n? או משהו אחר? תודה!

תשובה

מספר היחסים על קבוצה A בת n איברים היא הגודל של $P(A \times A)$ , שהיינו $2^{n^2}$ . Adam Chapman 11:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה קצרה מאוד על עוצמות

קבוצת כל הפונקציות מהטבעיים לקבוצת תת הקבוצות של הטבעיים, מהי עוצמתה? לפי החישוב שלי, הקבוצה שווה לP)N( בחזקת N, כלומר העוצמה שווה ל-א בחזקת א0. אך מהי העוצמה א בחזקת א0? א? או יותר, 2 בחזקת א? איך אפשר לדעת את זה? תודה רבה!

תשובה

ישנן כמה נוסחאות לגבי עוצמות אינסופיות שצריך לדעת. אחת מהן היא שאם $k$ אינסופית ו $\lambda<k$ אזי $k^\lambda=k$ . Adam Chapman 11:29, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

3 שאלות על הרכבת פונקציות

-אם $g*f=Id$ אז $g(f(x))=x$ או ש $f(g(x))=x$ ? כי ניתקלתי בבעיה שקשורה לזה (השאלה השניה). -אפשר להגיד ש אם F חחע אז F הפיכה משמאל ואם F על אז היא הפיכה מימין, נכון? -איך מוכיחים את מה שצריך להוכיח בשאלה 2 במבחן 2007 מועד א' (http://math-wiki.com/images/4/4f/BdidaExamMoedA2007.pdf) ?

ב-א', הוכחתי את הכיוון משמאל לימין, ע"י כך שאם g1*f=g2*f אז בגלל שf הפיכה מימין אז נרכיב את f-1 מימין ואז g1=g2. בכיוון השני נתקעתי.

ב-ב', לא הצלחתי בכלל. התחלתי ככה: צריך להוכיח שf חחע, כלומר או שנוכיח שאם f(a1)=f(a2) אז a1=a2 או שנוכיח שהיא הפיכה משמאל (לא בטוח מה עדיף). הפונקציה הזאת שמסומנת בסימון של קבוצה ריקה היא על ולכן והפיכה מימין, ולכן O*h=Id ולכן (ופה נתקעתי, לא הייתי בטוח

O(h(x))=x

ולכן (?)

h(x)*f=x

ופה יש משהו לא הגיוני. אפשר עזרה? תודה!

תשובה

אם $g*f=Id$ אז $g(f(x))=x$ .

בקשר לשאלה במבחן הנ"ל, הפיתרון הפשוט (לדעתי) של הסעיף הוא כדלקמן:

כיוון אחד

1) אם $f$ חח"ע אזי היא הפיכה משמאל ע"י איזושהי פונקציה שנסמנה $h : B \rightarrow A$ .

2) כעת, לכל פונקציה $\psi \in C^A$ יש מקור $g=\psi \circ h \in C^B$ לפי פונקציה $\Phi$ , כי $\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi$ ולכן $\Phi$ על.

כיוון שני

1) אם $f$ לא חח"ע אז קיימים $a_1,a_2 \in A$ שונים כך ש $f(a_1)=f(a_2)$ .

2) לכן לכל $g \in C^B$ , הפונקציה $\Phi(g)=g \circ f$ מקיימת $g \circ f(a_1)=g \circ f(a_2)$ .

3) אולם, קיימות הפונקציות $h \in C^A$ כך ש $h(a_1) \neq h(a_2)$ , כי $C$ מכילה לפחות שני איברים, וכתצואה מכך $\Phi$ איננה על.

Adam Chapman 11:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אם F חחע אז היא הפיכה משמאל, לא מימין, לא?

צודק, רשמתי את ה"הפיכה מימין" כשהתכוונתי להפיכה משמאל, וגם השתמשתי בה כהפיכה משמאל כך שהמילה "ימין" צריכה פשוט להיות מוחלפת ב"משמאל". אשנה זאת מיד.79.180.9.140 19:11, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה (קצת מוזרה, אבל מבלבלת) על איחוד קבוצות

נניח שX שייך לA חיתוך B חיתוך C. אני יכול להגיד בוודאות ש X שייך ל

(AחיתוךBחיתוךC) איחוד (AחיתוךBחיתוךC'(משלים)) איחוד (AחיתוךB'חיתוךC') איחוד (A'חיתוךB'חיתוךC)? האם זה נכון בטוח בגלל שאחד מהגורמים באיחוד הוא A חיתוך B חיתוך C? תודה!

תשובה

כן. ניתן לומר זאת בודאות כי אחד הגורמים באיחוד הוא הוא A חיתוך B חיתוך C.

Adam Chapman 10:49, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה רבה אני מאוד מעריך את כל העזרה שלך!!

עזרה (מבחן 2009 מועד ב' שאלה 7 ב'2 .)

הוכחתי את 1, ע"י חילוק למקרים, אם C=100 אז A וB יכולים להיות מ1 עד 99, 99 בריבוע אפשרויות, אם C=98 אז יש 98 בריבוע אפשרויות וכך הלאה ומקבלים את הסכום הדרוש. אבל לא משנה איך אני מנסה להסתכל על זה, אני לא רואה איך העוצמה של S שווה לתוצאה שכתובה ב2. אפשר עזרה לפני המבחן? תודה רבה!!

תשובה

את חלק ב' מוכיחים באופן קומבינטורי. כשיש לנו שלישיה סדורה $(a,b,c)$ כך ש $a<b \wedge a<c$ אז קורה אחד (ואחד בלבד) משלושת הדברים הבאים:1) $b=c$ או 2) $b<c$ או 3) $b>c$ . כל המקרים ב1) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת שני איברים מתוך 100, הצבת הקטן מבין השניים באינדקס הראשון והצבת הגדול מבין השניים באינדקסים השני והשלישי; כל המקרים ב2) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטן ביותר באינדקס הראשון, הצבת האמצעי באינדקס השני והצבת הגדול ביותר באינדקס השלישי; כל המקרים ב3) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטןביותר באינדקס הראשון, הצבת הגדול ביותר באינדקס השני והצבת האמצעי באינדקס השלישי. עקב כך, מקבלים את הנוסחה הרשומה בטופס המבחן בסעיף ב'.Adam Chapman 10:46, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה

איחוד או חיתוך

סליחה שאני שואלת המון שאלות..

איך מוכיחים שאם X מוכלת ב-A חיתוך B אז X מוכלת ב-A וגם X מוכלת ב-B? (במיוחד צריך לשים לב שההוכחה לא מתאימה גם לאיחוד במקום חיתוך, בשונה מההוכחה אצלי במחברת)

שוב, תודה מראש!

שאלות זה טוב

אם $X \subseteq A \bigcap B$ אז לכל $x \in X$ מתקיים $x \in A \bigcap B$ , דהיינו $x \in A$ וגם $x \in B$ . מכיוון שלכל $x \in X$ מתקיים $x \in A$ אז $X \subseteq A$ , ומכיוון שלכל $x \in X$ מתקיים $x \in B$ אז $X \subseteq B$ . Adam Chapman 00:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה רבה, אבל: אם

X \subseteq A \bigcup B

אז לכל

x \in X

מתקיים

x \in A \bigcup B

, דהיינו

x \in A

או

x \in B

. לכל

x \in X

מתקיים

x \in A

ואז***

X \subseteq A

, או

x \in B

ואז***

X \subseteq B

מה שמסומן ב-*** כמובן לא נכון, אבל איך מסבירים את זה שהדבר נכון רק עבור חיתוך ולא איחוד?

כל

x\in X

מקיים

x\in A

-או-

x\in B

. בפרט, מאד ייתכן שקיים

x\in X

כך ש

x\notin A

. אתה שינית לוגית את המשפט - במקום לומר 'כל איבר שייך לA או B' אמרת 'כל האיברים שייכים לA או כל האיברים שייכים לB'. ארז שיינר 01:18, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

באמת שיניתי לוגית את המשפט בלי לשים לב! אם כך, רק אם לכל

x \in X

מתקיים

x \in A

אז

X \subseteq A

, ובאיחוד זה לא לכל x. הבנתי, תודה לכם!

הוכחה טריוויאלית

מהי הדרך הנכונה ביותר להוכיח שאם $P(A)$ מוכל (או שווה) ב(ל)- $P(B)$ אז A מוכל (או שווה) ב(ל)-B?

(פשוט ההוכחה אצלי במחברת לא ברורה לי)

תשובה

אם $P(A) \subseteq P(B)$ אז לכל $X \in P(A)$ מתקיים $X \in P(B)$ . בפרט, $A \in P(A)$ ולכן $A \in P(B)$ , כלומר $A \subseteq B$ . Adam Chapman 23:57, 3 בספטמבר 2010 (IDT)

אהה, תודה!

יחסים

האם האיבר הקטן ביותר הוא תמיד המינימלי היחיד? (כשהוא קיים)

תשובה

כן Adam Chapman 23:32, 3 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה!

@@ שורה 8: / שורה 8: @@
 '''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2
+'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3
+'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4
+'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - לקראת המבחן
 =שאלות=
+==המבחן===
+באיזה בניין וחדר יהיה המועד ב' בבדידה?
-==צריך להוכיח?==
+==הפגישה==
-האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?
+באיזה שעה הפגישה והיכן?
+==פקטור==
+היה פקטור במבחן?
 ===תשובה===
-זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)
+כן
-==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==
+==חלוקת הציון==
-* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?
+כיצד מחלקים את הציון? כמו בלינארית או שהבוחן ייחשב לכולם? ואם כן באיזה אופן?
-* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)
+תודה מראש, גל.
-* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?
+==ציונים==
-* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?
+מישהו יודע מתי יהיו ציונים?
-* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)
+==שאלה חשובה ממבחן==
+בכמה דרכים ניתן לחלק 40 עטים ממוספרים <math>(1,2,...,40)</math> בין 30 סטודנטים?
+לא הבנתי את השאלה:
+*האם צריך לחלק את כל ה-40, כך שיהיו 10 סטודנטים שיקבלו 2 עטים? או לחלק רק 30 עטים?
+*האם מותר שחלק מהסטודנטים יקבלו 0 עטים? למשל - כל העטים לסטודנט אחד?
-'''תשובה'''
+אגב, תשובה סופית של השאלה תעזור לי מאוד, בשביל לבדוק את עצמי.
-* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math>
+===תשובה (לא מתרגל)===
-* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.
+כל האפשרויות הללו תופסות. אני הייתי פותר את השאלה כך: עבור כל עט יש שלושים אפשרויות, ולכן בסה"כ יש <math>30^{40}</math> אפשרויות. האם זה פתרון נכון?
-* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}
-* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.
-* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.
-(גרישה אושרוביץ')
-==תרגיל 4 שאלה 4==
+:אני מניח שהכוונה ל40 עטים ספציפיים, כלומר לא יכול להיות שעט מספר 2 יהיה אצל שני תלמידים.
-מהו הישר הממשי? תודה, גל.
-==שאלה 5==
-בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?
-:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.
-'''תשובה'''
+::נו?תסתכל על זה כך - לעט 1 יש 30 אפשרויות (תלמיד 1 עד תלמיד 30) וגם לעט 2 יש 30 אפשרויות וגם ... וגם לעט 40 יש 30 אפשרויות. ולכן בסה"כ התשובה שציינתי מתקיימת
-הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math>  (גרישה אושרוביץ')
+:::צודק, טעות שלי.
-==חיתוך==
+==הוכחת יחס בפרט==
-אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math>
+אם נתונה קבוצה B סופית ודי קטנה (כ-5 איברים) ואומרים יהי R יחס על B, הוכיחו ש-R יחס סדר חלקי (או שקילות, לא משנה). האם אני יכולה לכתוב בצורה מפורשת את R ופשוט לכתוב בצורה מפורשת למה היא טרנזטיבית, רפלקסיבית ואנטי סימטרית (או סימטרית), או שאני חייבת לעשות את זה באופן כללי ולא מפורש?
-אני יכולה להסיק מזה שB=C?
+==2007 מועד ב'==
-:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math>
+קישור: http://www.bis.org.il/download_Img.asp?file_name=278200810428508.pdf
-::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)
-:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז
-:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math>
-==תרגיל 3, שאלה 3==
+בשאלה 1 צריך לרשום בצורת CNF ו-DNF שתי פונקציות שהן ביטוי לוגי. אין לי מושג על מה מדובר, אבל זה לא בחומר - נכון?
-כאשר מוכיחים הופכיות של פונקציה ע"י מציאת הפונקציה ההופכית, צריך להראות איך הגענו לפונקציה ההופכית, או שמספיק להראות רק שהיא אכן ההופכית? לדוגמה, נתונה <math>f(x)=x^2-1\and f:\mathbb C\to\mathbb C</math>. האם צריך להסביר למה <math>g(x)=\sqrt{x+1}\and g:\mathbb C\to\mathbb C</math> היא ההופכית לה מימין (ולמה g פונקציה ולא יחס שאינו פונקציה)? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:59, 10 באוגוסט 2010 (IDT)
+שאלה 2 על דטרמיננטות - אני אמורה לדעת לפתור אותה ושאלה דומה יכולה להופיע במבחן מועד ב'? (אני עם אפי, למדנו דטרמיננטות שיעור אחד)
+בשאלה 4-ג',ד' ובשאלה 5 צריך להסביר משהו או רק לתת תשובה סופית?
+==מבחן 2007 מועד א'==
+קישור: http://www.bis.org.il/download_Img.asp?file_name=208200823203518.pdf
+בחלק II שאלה 3 (שצריך להוכיח באינדוקציה), הבדיקה עבור n=1 יצאה לא נכונה! יש טעות בתרגיל או שאני טועה?
+בבקשה תענו!
+דרך אגב, כל חלק III הוא לא בחומר, נכון?
+אה ועוד משהו: יש למישהו פתרונות של המבחן הזה? או לפחות פתרונות סופיים? אם מישהו פתר אותו, אז שיכתוב פה ונשווה :).
+במיוחד חשובה לי השאלה בקומבינטוריקה: 1-ב', יצא לי 208.
+==בקשה לפקטור==
+המבחן היה ברמה קשה מאוד אז נשמח לקבל פקטור. תודה!
+   אני בטוח שבגלל שביקשת יהיה פקטור :) (לא שאני מתנגד )
+::מצטרפת!
+::מצתרף, וזה בלי קשר לבעיות הרבות שהיו, הפסקת חשמל, בעיות בתופס, ועוד.. או לפחות שיקימו מועד מיוחד כדי שהמועד ב' לא תיהיה ההזדמנות האחרונה, זה די מלחיץ, וגם באמת שהתנאים והרמה לא היו בסדר, בהצלחה לכל מי שהולך למועד ב'
+==שאלות על הפתרון==
+בשאלה של התמורות, קבעתם את A להיות הקבוצה שבה איבר זוגי מסויים מופיע במקומו, ואז חישבתם את הסכום של כל הקבוצות האלו. אבל זה בעצם החיתוך של המשלימים, אז צריך לעשות את סך כל האפשרויות פחות הסכום שיצא, לא?
+ולגבי השאלה עם השוויון בין הסיגמות, אתם יכולים לכתוב את הפיתרון? (הוא לא מופיע). תודה!
+==פתרון המבחן==
+שלום. אתם יכולים בבקשה לפרסם את הפתרון של המבחן? תודה!
+==הצלחה במועד ב'==
+שלום. אני נבחנתי במועד א' ונראה לי שנכשלתי ככה שגם בסופי יהיה לי ציון נכשל. אבל זה בכלל לא אומר שבמהלך כל הקורס ישבתי עם פה פעור ולא הבנתי מילה. עכשיו אני צריכה לגשת למועד ב', ובו אני רוצה להצליח. לא להצליח 80, אלא להצליח 100 לפחות. אני מוכנה לחרוש בשביל זה כמה שצריך, ואפילו יותר. אבל אני רוצה שהחרישה תהיה יעילה כמה שאפשר. אז מתרגלים, בתור מי שהצליחו באיזה קורס או שניים, בבקשה תספרו מנסיונכם, מהי הדרך הכי אפקטיבית ללמוד למבחן? מה ייתן לי את מירב הסיכויים לקבל 100?
+תודה מראש!
+אני עדיין מחכה לתשובה, בבקשה...
+:אני לא בטוח שהם עוד עוכבים אחרי הדף הזה, אבל אולי אם תשאל את השאלה בדף השיחה של אחד המתרגלים הם יענו לך (למשל [[שיחת משתמש:ארז שיינר]] ו[[שיחת משתמש:Adam Chapman]]. את רשימת כל מפעילי המערכת (רובם מתרגלים) תמצא [http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93%3A%D7%A8%D7%A9%D7%99%D7%9E%D7%AA_%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%9D&username=&group=sysop&limit=50 כאן]). [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 00:36, 10 בספטמבר 2010 (IDT)
+::תודה לך :)
 ===תשובה===
-בגדול, התשובה היא לא. לא תמיד יש אלגוריתם מובנה למציאת פונקצייה הופכית ואם עליתם עליה באיזושהי דרך, זה לא מאוד חשוב שתציינו איך עליתם עליה. וכן, כמובן אחרי שנתת את הפונקציה, אתה צריך להראות שהיא אכן ההופכית מימין לפונקצייה שאתה רוצה להוכיח שהיא הפיכה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 13:44, 12 באוגוסט 2010 (IDT)
+*קודם כל יש לוודא שיש לך את כל החומר מההרצאות ושאת מבינה כל דבר ודבר שנעשה בהרצאה (אחר כך כנ"ל לגבי התרגילים)
+*יש לעבור על מבחן מועד א' ולוודא שאת מבינה בדיוק איפה טעית, ואיך היית מקבלת 100 אם היית נגשת אליו.
+*יש לפתור את כל תרגילי השנה ומבחנים משנים קודמות, דבר ראשון מבלי להסתכל בפתרונות, ולאחר מכן לוודא שפתרת נכון
+*תנסי לקבוע שעת קבלה עם המתרגל שלך או מתרגל אחר בקורס שלך (עדיף באמצעות המייל, לא כולם עוקבים אחרי הדף הזה בשלב זה, כמו שאור ציין).
+*אני אציין שמה שאמרתי הוא כללי מכיוון שאיני מתרגל בדידה ולכן איני יכול לכוון יותר למקצוע הזה. הכוונה נוספת תוכלי לקבל ממתרגלי בדידה.
-==תרגיל 3. שאלה 2. סעיף א'==
+בהצלחה,
-האם אנחנו קובעים את a וb. אם לא אז איך אנחנו יודעים שמס' האיברים בb גדול שווה למס' האיברים בa?
-==שאלה 1 סעיף ד'==
+[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:52, 10 בספטמבר 2010 (IDT)
-הכוונה היא שהטווח וגם התחום של הפונקציה הוא רק האיברים {0,1,2,3,4}?
+::תודה רבה!!
-או שאפשר לקחת (בטווח) גם את 6,7,8 וכן אלה כשהם במודולו 5?
+::מבין הדברים שכתבת, משנה מה אעשה קודם ומה אחר כך? ובשביל מה שעת קבלה?
-ואם מדובר רק ב{0,1,2,3,4} בטווח, איך אפשר לדעת מה הולך למה?
-'''תשובה'''
+:::שעת קבלה לשאול שאלות (אם יש) וגם להתייעץ לגבי הלימודים ספציפית לקורס. לגבי הסדר, אני חושב שנוח לעבוד לפי נושאים הרצאה-תרגול-תרגיל בית (כלומר להבין את ההרצאה בנושא ואז את התרגול בנושא ואז תרגיל בית בנושא ואז לעבור לנושא הבא). אחרי שיש שליטה בחומר עוברים למבחנים ודברים דומים.
-כן. הן טווח והן תחום הם <math>\mathbb{Z}_5</math>. לשאלתך, למשל <math>3^2=_5 4</math>  (גרישה אושרוביץ')
+==עוד 2 שאלות קצרות ואחרונות בהחלט!==
+יש לי עוד 2 שאלות קצרות שאפשר לענות עליהם עם תשובה סופית בלבד.
+:האם <math>P(AxB)=P(A)xP(B)</math>?
+:נניח A=}1,2,3,{. מספר היחסים על A הוא 2 בחזקת 9 (לפי תשובה לשאלה קודמת), נכון? ומספר יחסים השקילות על A, איך מחשבים את זה? מחשבים אז זה בצורה אחרת, על ידי מספר מחלקות השקילות האפשריות נכון? המחלקות האפשריות הן 1,2,3; 12,3; 1,23; 2,13; 123; כלומר 5? או שיש לי טעות? תודה!
-==תשובה==
+===תשובה===
-לדעתי, כל מה שבשדה <math>\mathbb{Z}_5</math> אחרת זאת לא פונקציה(אין הגדרה ל-<math>[x^2]</math> כאשר x=4 למשל)
+התשובה היא לא. <math>P(A \times B) = P(A) \times P(B)</math> זה שקר ברוב המקרים. אם <math>A=\{1,2\}</math> ו<math>B=\{3,4\}</math> אז <math>\{(1,3),(2,4)\} \in P(A \times B) \setminus P(A) \times P(B)</math>. הכי טוב להבין זאת דרך עוצמות. <math>|P(A \times
+B)|=2^{|A| \cdot |B|}, |P(A) \times P(B)|=2^{|A|+|B|}</math>.
-==תרגיל 4 (מתרגיל 3)==
+{{התנגשות}}לא. נניח בשלילה שזה נכון, אזי:
+{|
+{{equation|l=<math>|\mathcal P(A\times B)|</math>|r=<math>2^{|A|\cdot|B|}</math>}}
+{{equation|o=<math>\not=</math>|r=<math>2^{|A|+|B|}</math>|c=קיימות <math>A</math> ו-<math>B</math> כך ש:}}
+{{equation|r=<math>2^{|A|}\cdot2^{|B|}</math>}}
+{{equation|r=<math>|\mathcal P(A)\times\mathcal P(B)|</math>}}
+|}
-סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב <math>f</math> וב-ו' כתוב<math>f^{-1}</math>
+בסתירה לכך שאם שתי קבוצות שוות אז עוצמתן שווה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 14:38, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
-לא נתון כלום על <math>f</math> האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את <math>f^{-1}=f</math> ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?
+:תודה! ובקשר לשאלה השנייה, עם מספר היחסים על A, צדקתי או שיש לי טעות? תודה
+::לא משנה כבר, בהצלחה!
-'''תשובה'''
+==2 שאלות, אם מתרגל עדיין נמצא פה..==
+-אם יש נוסחת נסיגה לא הומוגנית, שהאיבר החופשי שלה, במקום להיות מחובר מהצורה <math>a^n*q(n)</math> הוא פשוט מספר ללא n, לדוגמה 4, (כלומר: נוסחת נסיגה לדוגמה תהיה an=an-1+an-2+4) מה מציבים בנוסחת הנסיגה? פשוט k ללא n? או 4 בחזקת n כפול k? כי אם מציבים ביטוי ללא n, יש בעיה שהיא- מה להציב בan-1 וכו'.
+-אם אפשר עזרה נוספת בנוגע[http://math-wiki.com/index.php/%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA#.D7.91.D7.A2.D7.99.D7.95.D7.AA_.D7.A2.D7.A0.D7.A7.D7.99.D7.95.D7.AA_.D7.A2.D7.9D_.D7.94.D7.A8.D7.9B.D7.91.D7.AA_.D7.A4.D7.95.D7.A0.D7.A7.D7.A6.D7.99.D7.95.D7.AA..._-.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.91.D7.A7.D7.A9.D7.94..- לשאלה הנל], תודה
-אני מציע לחשוב איזה תכונות מיוחדות יש ל-<math>f^{-1}</math> (גרישה אושרוביץ')
+===תשובה===
+אם משוואת ההפרשים היא משהו בסגנון <math>f(n+k)=a_1 f(n+k-1)+\dots+a_k f(n)+c</math> כאשר c הוא קבוע (דהיינו מספר שלא תלוי בn) אז מחפשים פיתרון פרטי של משוואת ההפרשים שיהיה פונקציה קבועה, למשל <math>h(n)=b</math> ואז פותרים את המשוואה<math>b=a_1 b+\dots+a_k b+c</math> ומקבלים פיתרון <math>b=\frac{c}{1-(a_1+\dots+a_k)}</math> וממשיכים באלגוריתם לפיתרון נוסחת הנסיגה כרגיל. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:55, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
+:תודה!
-==שאלה==
+===עוד אפשרות===
+אם לא בא לך לזכור את כל המקרים אפשר להפוך את 4 ל- <math>(1^n)*4</math>
-אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?
+==שאלה לסיום==
+למדנו את הכלל-a כפול b= למקסימום של הערכים.
+האם אפשר להסיק:
+תהי k עוצמה. מכפלת k בעצמה שווה לk?
+===תשובה===
+ראשית להבהיר, למדנו את המשפט הזה לגבי עוצמות אינסופיות, עבור סופיות כמובן שזה לא עובד.
+ושנית המכפלה תהיה שווה ל-k רק אם העוצמה קטנה או שווה ל-k
-תודה רבה!
+==שיבוצי הכיתות==
-:[[#שאלה על הגדרת הפונקציה]]
+בניין 605
-==שאלה 2==
+הקבוצה של אפי: <br>
-אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר?
+חדר 101: מסטודנט אבני תומר עד מלמד שירן <br>
-<math>g(x)= (x/2,x+1/2)</math>
+חדר 102: מסטודנט מרזוק חופית עד שרקנסקי אלה <br>
-ככה שאני מקבלת זוג סדור <math>(a,b)</math>
-כש<math>a=(x/2)</math>
-ו<math>b=(x+1/2)</math>
-אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה?
-(וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)
-'''תשובה'''
+הקבוצה של שי: <br>
+חדר 103: מסטודנט אבוטבול עומר עד כרמל רום <br>
+חדר 104: מסטודנט לביא גל עד שרעבי רועי
-את צריכה לוודא האם <math>x/2 \in A</math> וגם <math>x+1/2 \in B</math> (גרישה אושרוביץ')
+==חוקי עוצמות==
+אחד החוקים שכתוב לי במחברת הוא שעבור עוצמות a,b,d מתקיים: אם <math>a<b</math> אז <math>a^d<b^d</math>. השאלה היא מהן העוצמות a,b,d, האם זה גם עבור עוצמות סופיות?
-==להוכיח שפונקציה היא על==
+השאלה היא בהמשך לדוגמה נגדית שמישהו נתן: <math>2<3</math> אבל 2 בחזקת א0 שווה 3 בחזקת א0.
-ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.
+===תשובה===
+כנראה זה קטן שווה, גם אם d=0 יש שוויון
+:כן, כנראה. תודה. בכל מקרה, תשובה חד משמעית ממתרגל תעזור. אולי אפשר ממש להגיד מתי קורה השוויון, ואז להגביל a,b,d כך שהוא לא יקרה אף פעם?
+::אני לא מתרגל, אבל לפי דעתי אם זה גדול ממש זה לא תורם יותר מדי, לעומת זאת אם זה גדול שווה זה מראה על קיום פונ' חחע מצד אחד ופונ' על מצד שני.
-אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?
+===תשובת מתרגל===
+אני כן מתרגל, והאמת היא שאם קבוצות מקיימות <math>|A| \leq |B|</math> אם ורק אם קיימת פונקצייה על מB ל A שזה קורה אם ורק אם יש פונקצייה חח"ע מA לB. המשמעות של <math>|A| < |B|</math> היא שקיימת פונקצייה על מB לA אך לא קיימת פונקצייה על מA לB, שזה קורה אם ורק אם קיימת פונקצייה חח"ע מA לB אך לא קיימת פונקצייה חח"ע מB לA.
+בהצלחה במבחן היום! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:28, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
-ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.
-לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?
+:טעות שלי, החוק באמת כתוב עם שווה גם במחברת.
-ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.
+==מתי המבחן?==
+בשלוש וחצי או ארבע? האם התשובה היא ב100 אחוז? תודה!
+: בארבע, זה הרי מה שנכתב כאן ובמערכת המידע האישי...
+ואיפה?
+:שוב, מערכת מידע אישי ולפי מספר קורס 88195 (ולאחר מכן 08 עבור אפי 11 עבור שי) תוכל לראות באיזה חדר אתה משובץ
+==שאלה 1, סעיף 4 בדף רקורסיה==
+שלום רב,
+אם מבקשים ממני את מספר תתי הקבוצות של <math>\{1,...,n\}</math> שבהן יש מספרים עוקבים (ביחס רקורסיה), האם מותר לי לפתור כך:
+"
+עפ"י הסעיף הקודם (סעיף 3) קיבלנו שמספר האפשרויות לתתי הקבוצות של הקבוצה הנתונה בהן אין מספרים עוקבים בכלל הוא <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math>. מכיוון שלכל תת קבוצה יש שתי אפשרויות (שתכיל עוקבים או שלא תכיל עוקביים) ויש בסה"כ <math>2^n</math> תתי קבוצות אז נגדיר <math>g(n)</math> להיות מספר הקבוצות בהן יש מספרים עוקבים ולכן <math>g(n)=2^n-f(n)=2^n-f(n-1)-f(n-2)</math>?"
+אם לא, איך אני יכול לפתור? תודה, גל.
+==תרגיל 2==
+איפה התשובות של שאלות 8,9? (http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf)
+==אפשר עזרה בשאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'?==
+אני כבר ממש מיואש, כל פונקציה שאני בונה יוצאת לא חחע ולא על! זאת שאלה ממש קשה, אבל גם ממש חשובה למבחן, אז אפשר, בבקשה, פתרון או הכוונה? תודה!
 ===תשובה===
-אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו<math>g</math> על. בפרט, אם <math>g \circ f=id</math> אז היא חח"ע ועל.
+בשאלה הזו לא מצפים ממך לבנות פונקציה כי אם להשתמש בחוקים אלמנטריים שאתה יודע בחשבון עוצמות.
-כלומר, אם  <math>g</math> היא הפיכה מימין (כלומר קיימת <math>f</math> כך ש<math>g \circ f=id</math>) אז <math>g</math> על.
+ההוכחה שמצופה מכם היא כזו:
-אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)
+מצד אחד <math>2^\lambda>\lambda</math> ולכן <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math>.
+מאידך, <math>2 \leq k \leq 2^\lambda</math> ולכן <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math> ולכן <math>k^\lambda=2^\lambda</math>.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:33, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+:אני פשוט לא מאמין, סתם ישבתי לי ובניתי פונקציות..
+:בכל מקרה, לא הבנתי אף אחד מהשלבים שעשית! קראתי שוב לאט, ובטוח גם אם הפתרון שלך נכון אז חסר בו פירוט הכרחי באיזשהו מקום- איך אתה יודע שK בחזקת גימל שווה ל2 בחזקת גימל?
+::כי <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda</math>
-:תודה על התשובה. מה זה id?
-הקושי העיקרי שלי בלהוכיח "על" הוא ההסברה. כמעט שום הסבר לא נראה לי מספק וסגור מכל הקצוות. כך שאם יש נוסחה שאומרת שברגע שמצאתי (עצם המציאה לא קשה בפונקציות שבתרגיל) f כך ש-g הרכבה f שווה משהו אז g על, זה פותר את הקושי.
+::לימדו אתכם בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל <math>\lambda<k</math> מתקיים <math>k^\lambda=k</math>. גם לימדו אתכם בהרצאה שאם עוצמה k קטנה מקיימת <math>\gamma \leq k \leq \gamma</math> אז <math>k=\gamma</math>. אלו הם שני החוקים שהשתמשתי בהם בהוכחה הנ"ל. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:48, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+:::לא!!! התכוונתי לאיך אתה יודע את כל אחד מ2 השלבים האלה! ברור לי שאם אתה יודע שאחד גדול מהשני והשני גדול מהראשון אז על פי קנטור ברנשטיין יש שוויון!!את התוצאה <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda</math> פשוט המצאת. כמו כן פשוט כתבת שאם<math>2^\lambda>\lambda</math> אז <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math> וש <math>2^\lambda>\lambda</math> אז <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math>בלי להסביר! מאיפה הבנת את הדברים האלה?? אתה יכול להסביר בבקשה למה K בחזקת גימל גדול מ2 בחזקת גימל ולמה להפך?? תודה
-==שאלות 2 ו3-א'==
-בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש <math>g:A \rightarrow AxB</math> היא פונקציה?
-בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו <math>AxB \rightarrow BxB</math>)  או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.
-בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש <math>f(0)</math> שלא מוגדר?
+:::לימדו בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל <math>\lambda<k</math> מתקיים <math>k^\lambda=k</math>. במשפט הזה תחליף את k ב-<math>2^\lambda</math> (אינסופי כי <math>\lambda</math> אינסופית נתון). ידוע ש- <math>\lambda<2^\lambda</math> לפי קנטור. לכן לפי המשפט הזה, <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math>.
-ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?
-אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד.
+:::חוץ מזה, ידוע שכאשר a,b,c עוצמות: אם a<b, אז <math>a^c<b^c</math> ולכן אם נתון <math>2 \leq k \leq 2^\lambda</math> אז <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math> (העלינו הכל בחזקת <math>\lambda</math> והשיוויון ממה שהוכחנו קודם). זהו עכשיו לפי קנטור ברנשטיין מ.ש.ל. אגב אני לא מתרגלת אבל מקווה שעזרתי.
-תודה רבה.
+::::תודה על העזרה, אדם, אני ממש לא רוצה להעליב, אבל אי אפשר להבין כשישר כותבים תוצאה. אבל נראה לי שיש פה טעות, כי למשל למשפט אם a<b, אז <math>a^c<b^c</math> אני יכול לתת דוגמה נגדית. ודבר שני, אני ממש לא זוכר שלמדנו בהרצאה את מה שאת ואדם אמרתם שלמדנו. תודה
-'''תשובה מאוד חלקית'''
+:::::איזו דוגמה נגדית? (שים לב ש-c זו עוצמה, לא משלים. הסימונים שהשתמשתי בהם הם לא משהו..) אם אתה עם אפי, אז החוק הזה כתוב לך בעמוד האחרון שלפני קומבינטוריקה (מצחיק, הרגע שמתי לב שכל התרגיל הזה הוא חוק מספר 8 שכתוב שם במדוייק).
+:::::את מה שאדם כתב אין לי במחברת. בכלל, בקושי יש חוקים שלמדנו על עוצמות כלשהן (כשלא ידוע מהי העוצמה). אם הייתה רשימה של כל החוקים האלו זה היה כ-ל-כ-ך עוזר!
+::::::למשל, 2 בחזקת א0 שווה ל3 בחזקת א0, לא?
+:::::::וואלה, נראה לי שאתה צודק... אז אולי החוק הזה הוא אם a,b,c עוצמות אינסופיות? לא יודעת. יש איזה מתרגל שיכול לעזור פה?
-אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-<math>f(0)</math>
+===תשובת מתרגל (אע"פ שהתשובת המתרגל כבר רשומה למעלה)===
+אני מתרגל, ואין לי מושג מי היה המתרגל או המרצה שלכם, חברה, אך נדמה לי שלא רשמתם במחברתכם את כל מה שנאמר בהרצאות או בתרגולים. אני נתתי את רשימת החוקים של חשבון עוצמות גם בתרגול שלי וגם בתרגול העזר של הקורס. שני החוקים שרשמתי למעלה (בפרט הראשון) הם נכונים ונוסחם הוא בדיוק מה שניסחתי לכם למעלה. בהצלחה במבחן! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:31, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
-===תשובה (אולי פחות חלקית)===
+==בעיות ענקיות עם הרכבת פונקציות... -עזרה בבקשה..-==
-באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה <math>g</math> שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?
+זהו המשך לשאלה ששאלתי קודם, [http://math-wiki.com/index.php/%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA#3_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.95.D7.AA_.D7.A2.D7.9C_.D7.94.D7.A8.D7.9B.D7.91.D7.AA_.D7.A4.D7.95.D7.A0.D7.A7.D7.A6.D7.99.D7.95.D7.AA השאלה]. אני ממש, ממש תקוע, בסעיף א' כיוון שמאלה, ובסעיף ב' שני הכיוונים (אדם, כנראה שלא הבנתי את הפתרון שלך). למשל ב-ב', אם f חחע, אז לפי מה שהבנתי (וגם בדקתי את זה!) היא הפיכה '''משמאל''' ולא מימין. לכן קיימת פו' כך ש hf=id. אבל זה ממש בעייתי ולא עוזר לפתור את הבעיה, כי צריך להוכיח שלכל תמונה של פי, כלומר לכל gf, קיים מקור g, אבל איך אפשר להוכיח את זה, הרי גם אם נרכיב את ההופכי של f משמאל, יצא hgf, שזה לא נותן כלום! מה עושים? (אם אפשר תשובה מפורטת גם לזה וגם לסעיפים\כיוונים האחרים) תודה רבה!
-באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)
+===תשובה===
+אכן הייתה לי טעות בהקלדה אך כדאי שתקרא את התשובה שרשמתי למטה שוב.
+עכשיו אולי אוסיף משהו שיסייע להבנה:
+אם אתה רוצה להוכיח שפי היא על אתה צריך לקחת איבר בטווח ולהראות שיש לו מקור ,כלומר איזשהו g כך שgf שווה לאיבר בטווח שלקחת. אף אחד לא אומר לך שהאיבר בטווח הוא מן הצורה gf. זה מה שאתה צריך להוכיח!
-תודה.
+אתה צריל לקחת איבר כללי בטווח, אותו <math>\psi</math> ומראה שקיימת g כך ש<math>\psi=g \circ f</math>.
+זה מה שעשיתי בוהכחה למטה. אני ממליץ לך לקרוא אותה שוב.[[מיוחד:תרומות/79.180.9.140|79.180.9.140]] 19:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+:
+:לא הבנתי את המשפט:"לכל פונקציה <math>\psi \in C^A</math> יש מקור <math>g=\psi \circ h \in C^B</math> לפי פונקציה <math>\Phi</math>, כי <math>\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi</math>", באמת שלא הבנתי למה G שווה לפסי הרכבה H ומה זה אומר "לפי פונקציה פי". אפשר הסבר קצת מפורט יותר? תודה!
-בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?
+::אתה צריך להראות שקיימת  g כך ש<math>\psi=g \circ f</math>. לא נתונה לך g שאתה צריך להוכיח שהיא <math>g=\psi \circ h \in C^B</math>. אתה יכול לבחור איזו g שאתה רוצה. אתה רק צריך להסביר למה אותה g שבחרת היא מקור לפסי. אני בחרתי את g להיות הפונקציה <math>\psi \circ h</math> והראיתי שהיא אכן מקור לפסי. מכיוון שפסי הוא שרירותי זה אומר שהראיתי שלכל פסי שרירותי קיים מקור, ולכן פי היא על. כדי להראות שקיים מקור לאיבר אתה צריך לציין את המקור הפוטנציאלי ולהראות שהוא אכן מקור. המקור הוא לא מ שנתון לך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:42, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+:::'''אבל איך אתה יכול לדעת שg יכולה להיות מורכבת מפונקציה פסי ומהפונקציה h? ובאותה צורה, איך זה שאתה בוחר "פסי שרירותי" אם אתה קובע שהפסי הזה הוא הרכבה של g ושל f? אשמח לתשובה מפורטת ומובנת הפעם, שלא אצטרך לשבור את הראש כדי לנסות להבין אותה! תודה רבה!'''
-ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?
+::::g יכולה להיות פסי הרכבה h משום שהמקור של פסי צריך להיות פונקציה מB לC ופסי הרכבה h הינה פונקציה מB לC. אני אכן בחרתי פסי שרירותי לא קבעתי שהוא הרכבה של g על f. אני בחרתי פסי שרירותי הראיתי שניתן למצוא לו מקור. מהו אותו מקור? אותו מקור הוא פסי הרכבה h. לכל פונקציה פסי מA לB, התמונה של פסי הרכבה h היא פסי ותמונה של פי מכילה את כל הפונקציות מB לC, דהיינו פי היא על.
+שמע, ידידי, אין לי מושג איך לסייע לך מעבר לכך. כל מה שאני יכול לומר זה שאני ממליץ לך להוכיח כתרגיל שהפונקציה <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math>  שמקיימת לכל <math>x \in \mathbb{Z}</math>, <math>f(x)=x+1</math> היא על, ואז תראה שמבחינה אלגוריתמית אין הבדל בין ההוכחה הזו להוכחה שרשמתי לך למעלה. בהצלחה במבחן! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:42, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
-שמע,
+==הפרכה בעזרת דוגמה==
-ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה).
+בתרגיל 2 שאלה 5.ב, למה אי אפשר לתת דוגמה בשביל להפריך טרנזטיביות? הרי אם מראים שקיים B '''מסויים מאוד''' שעבורו אין טרנזטיביות, אז כבר R לא טרנזטיבי...לא?
-אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.
-בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה <math>g: A \rightarrow A \times B</math>. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה <math>A</math> והטווח זו הקבוצה <math>A \times B</math>. אין חשיבות לעובדה ש <math>A \times B</math> זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור <math>A</math> ו<math>B</math> ופונקציה <math>g</math> כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.
+השאלה: http://www.math-wiki.com/images/8/87/10BdidaTargil2.pdf
-באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע.
+התשובה: http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf
-אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור.
-אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)
+===תשובה===
+כן. אפשר לעשות גם את זה. אני לא חושב שעבור B ספציפי להראות שאין טרנזיטיביות יותר קצר מלהראות פשוט שאין טרנזיטיביות. מספיקה העובד שB מכיל שני איברים שונים. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+==שאלה 1ג מועד א 2008==
+שלום רב,
+האם ההוכחה שלי לשאלה 1ג נכונה?
-תודה רבה!
+"
+נניח בשלילה שהחיתוך המתבקש אינו שווה לקבוצה ובה הקבוצה הריקה, ולכן משום שהקבוצה הריקה היא איבר המשותף לכל קבוצות החזקה קיימת קבוצה <math>X\in P(A)</math> ושמקיימת גם <math>X\in P(B)</math> (נשים לב שקבוצה זו שונה מהקבוצה הריקה)....... בסוף נקבל ש- <math>X\subseteq A \bigcap B</math> ולכן החיתוך אינו קבוצה ריקה, וזו סתירה?"
-==אותה שאלה==
+כמובן שעם פירוט של כל השלבים באמצע. תודה מראש, גל.
-לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.
-נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.
+===אישור===
+תשובה נכונה בהחלט. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:52, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
-לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.
+==שאלה==
+מהי עוצמת הקבוצה של קבוצות שאינן סופיות ואינן קו-סופיות (שהמשלים שלהן אינו סופי) מתוך הטבעיים? האם זה א כי קבוצה של קבוצות אינסופיות? או לא? תודה!
 ===תשובה===
-נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש<math>G</math> הוא יחס על <math>A \times B</math>, דהיינו להראות <math>G \subseteq (A \times B) \times (A \times B)</math>, התשובה היא לא, אין צורך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)
+התשובה היא <math>\aleph</math> אך לא כי "קבוצה של קבוצות אינסופיות".
+הקבוצה <math>\{\mathbb{N},\mathbb{R}\}</math> היא קבוצה של קבוצות אינסופיות המכילה שני איברים בדיוק.
+בלי קשר, כפי שלמדנו, המונח "אינסופי" הוא בעל משמעות מאוד רחבה בקורס הזה ולא ניתן להיעזר במונח הזה כדי לטעון אמיתות של תשובה מדוייקת כמו <math>\aleph</math> .
-==הודעה לקראת הבוחן==
+העוצמה של הסופיות היא <math>\aleph_0</math> וזו גם העוצמה של הקוסופיות.
-(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)
+העוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים היא <math>\aleph</math>.
+אחד מן החוקים שלימדנו אתכם לגבי חשבון עוצמות הוא שכשלוקחים קבוצה אינסופית ומפחיתים ממנה תת-קבוצה בעוצמה קטנה ממש ממנה אז העוצמה לא קטנה, ולכן אחרי שמפחיתים את תת-הקבוצות הסופיות ותת הקבוצות הקוסופיות מכלל תת-הקבוצות של הטבעיים נשארים עם קבוצה שעוצמתה <math>\aleph</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:45, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
-) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.
+:למה העוצמה של הסופיות היא <math>\aleph_0</math> וזו גם העוצמה של הקוסופיות?
+::אהה. הנחתי שאת זה עברנו אם הגענו כבר לשאלה מה הגודל של ההפחתה. OK, אז ככה:
-) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).
+הגודל של תת-הקבוצות בגודל k (סופי) הוא לפחות <math>\aleph_0</math> מצד אחד, ומאידך הוא אינו עולה על <math>\aleph_0^k</math>, ומכיוון שלk סופי מקבלים שמספר תת הקבוצות בגודל k הוא <math>\aleph_0</math>.
+כעת, קבוצת התת-קבוצות הסופיות היא איחוד זר של קבוצת תת הקבוצות מגודל אחד עם תת הקבוצות מגודל 2 וכו'. דהיינו, הגודל של קבוצת תת הקבוצות הסופיות הוא <math>\aleph_0 \cdot \aleph_0</math>, שזה בעצם (לפי מה שלמדנו) <math>\aleph_0</math>.
-) אורך הבוחן יהיה שעה.
+יש התאמה חח"ע ועל בין הקבוצות הקוסופיות לקבוצות הסופיות ע"י שליחת קבוצה למשלימה, ולכן עוצמת תת הקבוצות הקו-סופיות גם היא <math>\aleph_0</math>.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:04, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
-) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.
+:תודה רבה!!
-) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת.
+==פרטים בקשר למבחן==
-[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)
+בחלק מהמקומות כתוב שהמבחן ב4 ובחלק 3 וחצי, אפשר שעה (וגם מיקום, אם אפשר) סופיים? תודה!
+==הרכבה ריקה==
+אם <math>S=\{(a,b)\}</math> ו-<math>R=\{(b,c)\}</math> אז S הרכבה R זו קבוצה ריקה, או "לא קיים"?
+===תשובה===
+"לא קיים" זה מונח בעייתי.
+מונח יותר נכון הוא "לא מוגדר".
+בהינתן יחסים R בין A לB וS בין C לD, ההרכבה <math>S \circ R</math> מוגדרת אם B=C. (כמו בפונקציות)
+במקרה שהצגת למעלה אני מניח שהתכוונת שS וR הם יחסים על A כלשהי שמכילה את a, b וc,
+ואז התשובה היא באמת קבוצה ריקה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+::תודה. אני התכוונתי ש-S יחס מ-A ל-B ו-R יחס מ-B ל-C, אם כך התשובה פה היא לא מוגדר, אם הבנתי נכון.
+::: הבנת נכון.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+==סריג==
+אפשר בבקשה דוגמה לסריג?
+===תשובה===
+<math>\{a,b,c,d \}</math> עם היחס סדר חלקי "<" כדלקמן : a>b,a>c,b>d,c>d.
+[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:31, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+:לפי ההגדרה, לכל שני איברים צריך להיות סופרימום ואינפימום. אתה יכול בבקשה לכתוב מהם לכל שני איברים?
+::אם תיקח שני איברים שאחד גדול מהשני תקבל שהסופרימום הוא הגדול בין השנים והאינפימום הוא הקטן בין השניים. הקושיה היחידה שנותרה היא מה קורה בין c לb ובמקרה זה האינפימום הוא d והסופרימום הוא a. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+:::אה, נראה לי שהבנתי. תודה. אבל "<" הוא לא יחס סדר חלקי, לא? (למשל אין רפלקסיביות)
+::::"<" מעל המספרים הטבעיים הוא יחס סדר מלא (ולכן גם יחס סדר חלקי). פה הוא רק סימון. במקומו יכולתי לרשום R או כל דבר אחר. סתם נוח לי לרשום "<" כי אז ברור מה "כיוון" הסדר (כדי למנוע בלבול מקסימלי-מינימלי).[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:36, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+:::::אבל איך? הרי אין רפלקסיביות...
+===תשובה לשאלות על התשובה===
+נו! כשכתבתי ">" יחס סדר חלקי התכוונתי שהוא מקיים רפלקסיביות+ את היחסים שרשמתי+את היחסים שמקבלים מתוך היחסים שרשמתי בהינתן הטרנזיטיביות של היחס.
+אם אתה רוצה שארשום את כל הזוגות בצורה מפורטת אז הנה:
+<math>R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,a),(c,a),(d,a),(d,c),(d,b)\}</math>.
+מקווה  שזה יסייע להבנה.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+:וואו, זה מבלבל. תודה וסליחה על ההטרחה.
+==שאלה על אחת השאלות פה==
+מה זה: "מספר ה'''יחסים''' על קבוצה בעלת n איברים"? מה הכוונה?
+:מספר היחסים מA לA (למשל "קטן מ" בקבוצה של מספרים)
+::תודה. הכוונה לכל יחס אפשרי? אז יש אינסוף! למשל: קטן, גדול, מקיים <math>a-b \in Z</math>, מקיים <math>a^2=b</math> ועוד ועוד ועוד... נראה לי שלא הבנתי.
+::ולמה זה הגודל של <math>P(A \times A)</math>?
+:::העובדה שרשמת שלוש נקודות לא את הופכת הרשימה לאינסופית. יחס, כפי שלמדתם, הוא תת קבוצה של <math>A\times A</math>. הרי בין כל זוג סדור של איברים מהקבוצה יכול להתקיים היחס או לא להתקיים. היחס הוא הקבוצה של כל הזוגות הסדורים בינהם מתקיים היחס. בפרט, כל קבוצה המוכלת ב<math>A\times A</math> מהווה יחס אחד. אוסף כל היחסים הינו אוסף כל תתי הקבוצות הנ"ל וזה בדיוק <math>P(A\times A)</math>. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:15, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+::::אההה.. הבנתי. תודה! (ומה שאני רשמתי הוא אמנם אינסופי, כי למשל <math>a^n=b</math> לכל <math>n \in N</math> הוא יחס נפרד, אבל יש שם יחסים שקולים כי הקבוצה סופית).
+:::::בדיוק, ומעל קבוצה אינסופית כמו השלמים בהחלט יש אינסוף יחסים. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+==שאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'==
+אני לא מאמין, כתבתי עכשיו עשרות שורות של הפתרון שלי כדי לשאול אם הוא נכון, אבל זה נמחק לי =[. אז פשוט אשאל, אם אפשר, בבקשה, פתרון נכון לשאלה 3 סעיף ב', איזה פונקציה חח"ע ועל אפשר לעשות? זו שאלה קשה אז אני בטוח שיש עוד הרבה שירצו גם פתרון. תודה!!
+:אני גם בדיוק עושה אותה אבל יש לי דרך תיאורטית שאני לא בטוח שהיא נכונה. הרי יודעים שK בין 2 ל2 בחזקת ג, אם מראים שבשני מקרי הקצה של K הוא שווה ל2 בחזקת ג זה לא מספיק כדי להוכיח שוויון תמידי? זה קצת מוזר שלסעיף הזהיש 5 נקודות ולסעיף הראשון יש 10, הוא הרבה יותר קל
+::מצטערת בשבילך שהכל נמחק, בפעם הבאה אחרי כל כמה שורות תעתיק את כל מה שכתבת ואז תוכל להדביק במקרה הצורך.
+==שאלה 2 מועד ב' 2008==
+יש לי פתרון אבל אשמח מאם מישהו (עדיף מתרגל) ייתן את הפתרון כדי שאני אהיה בטוח, אני אנסה לכתוב את הפתרון שלי כאן: <math>(-1)^n*{1519-101n \choose 20}</math><math>{1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}</math>
+שיאללה אני לא מאמין שהצלחתי לכתוב את זה
+:אני לא מתרגל, יצא לי דומה לשלך רק שהכנסתי את הגורם הראשון לתוך הסכום, וגם נראה לי שצריך להוסיף כמה פעמים כל חיתוך של קבוצות מופיע, למשל יש 2 מתוך 20 פעמים חיתוך 2 Ai ים (אם עשית את זה בעיקרון הכלה והדחה וצריך לצאת בערך כמו שלך רק עם i מתוך 20 בתוך הסכום
+::כן כן שמתי לב לזה עכשיו, כתבתי את החלק של הכמה יש מתוך בדף אבל התלהבתי כל כך שהצלחתי לכתוב את זה באתר ששכחתי להוסיף, התוצאה שלי היא כזאת:
+ <math>((-1)^n*{1519-101n \choose 20}*{20 \choose n})</math><math>{1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}</math>
+האמת שעכשיו אני לא בטוח אם זה צריך להיות <math>{1519-101n \choose 20}</math> או <math>{1519-101n \choose 20-n}</math>
+==איך להוכיח (2008 מועד ב' שאלה 1 א')==
+האם אפשר להוכיח ככה, או שיש דרך אחרת?
+נניח <math>f(x1,u1)=f(x2,u2)</math> וכן <math>f(x1,u1)={v1 (muchal-be) u1 | x1 (shayach-le) v1}, f(x2,u2)=cmo-x1,u1</math> ולכן לכל V1, V2 שמוכלים בU1, U2 מתקיים V1=V2 ולכן U1=U2 וגם x1=x2? משהו לא נכון בהוכחה הזאת נכון? אז איך מוכיחים? תודה!
+===תשובה+הערות כתיבה===
+)אם רוצים לרשום לכתוב "}" אז כותבים }\ ואם רוצים לכתוב "{" אז כותבים {\.
+) "מוכל ב" כותבים (כשצד שמאל מוכל בצד ימין) subseteq\ וכשצד ימין מוכל בצד שמאל supseteq\. מוכל ממש זה אותה פקודה רק בלי הeq.
+) "שייך" ל רושמים (כשצד שמאל שייך לצד ימין) כin\ וכשצד ימין שייך לשמאל רושמים ni\.
+עכשיו לגבי התשובה:
+התשובה שלך איננה נכונה משום שאתה מנסה להוכיח טענה שהיא שקרית, דהיינו ניתן לתת לה דוגמאות נגדיות. A כוללת לפחות שני איברים שונים, נסמנם x1 וx2. כעת <math>f(x_1,\{x_2\})=\emptyset=f(x_2,\{x_1\})</math>, משמע f לא חח"ע.
+[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+==שאלות 2א+ב מועד ב 2009==
+שלום רב,
+כיצד עליי לנמק בפתרון השאלה 2א? התחלתי את הפתרון כך:
+"ישנם <math>n</math> מספרים בקבוצה ולכן סך כל האפשרויות לתמורות שונות הוא <math>n!</math>. כמו כן קיבלנו שתי אפשרויות:
+. <math>n</math> לפני <math>n-1</math>
+. <math>n</math> אחרי <math>n-1</math>"
+השאלה שלי היא איך אני מנמק לאחר מכן שקיימות <math>0.5n!</math> תמורות כנדרש:
-==הוכחה שפונקציה היא על==
+. "...לכן לכל תמורה שתי אפשרויות ולכן בסה"כ יש <math>0.5n!</math> תמורות שעונות לתנאי זה".
-איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.
-:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)
+. "כעת נגדיר <math>A</math> קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 1, <math>B</math> קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 2. כמו כן נגדיר פונקציה <math>f:A->B</math> ע"י לכל <math>x</math> ב-<math>A</math> יתקיים ש<math>f(x)=y</math>כאשר <math>y</math> היא התמורה בה איברי <math>x</math> מופיעים בסדר הפוך (כלומר התמורה <math>1,2</math> תהפוך ל-<math>2,1</math>). פונקציה זו חח"ע ועל ולכן <math>|A|=|B|</math> ומכיוון שהחיתוך ביניהם זר הרי שאפשר לומר ש-<math>|A|+|B|=2|A|=|C|</math> (כאשר <math>C</math> היא קבוצת כל התמורות). נציב <math>|C|=n!</math> ונקבל את העוצמה הדרושה של <math>A</math>...".
-::תודה
-==שאלה כללית==
+הבעיה היא שדרך 1 נקראית לי לא מפורטת מספיק ודרך 2 היא די ארוכה. בסעיף א זה עוד נסבל אבל בסעיף ב זה בכלל נורא כי כבר קיימות 6 אפשרויות (ואז עליי לבנות 6 פונקציות) אז איך עליי לנמק את מה שאמרתי?
-מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?
+תודה מראש, גל.
 ===תשובה===
-אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,
+אני לא מתרגל אך יש לי את הפתרון שאדם כתב באחד התרגולים שלו. כמו שאמרת, יש סך הכל <math>n!</math> אפשרויות לסדר את המספרים. ניתן לחלק מספר זה של אפשרויות ל2 חלקים: חלק ראשון הוא האפשרויות ש<math>n-1</math> מופיע לפני <math>n</math> והחלק השני הוא ההפוך- <math>n</math> מופיע לפני <math>n-1</math>, ניתן לראות כי 2 חלקים אלה הם שווים, נניח אתה בודק את מספר האפשרויות בהן <math>n-1</math> מופיע לפני <math>n</math>, אז מספר האפשרויות ההפוך הוא אותו מספר כיוון שהפעם החלפת בכל אפשרות בין <math>n</math> ל<math>n-1</math>, ולכן התוצאה היא <math>0.5n!</math>. בסעיף ב' אתה משתמש בתוצאה של סעיף א' ואתה יודע שהיא מתחלקת ל-3 אפשרויות ובאותו אופן כמו בסעיף א' גם 3 אפשרויות אלה הן שוות ולכן בסך הכל התוצאה היא <math>1/6n!</math>. אני שוב אומר שאני לא מתרגל אבל זאת הדרך בה אדם פתר את התרגיל הזה
-אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.
-לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,
-למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,
-אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)
+===הערונת===
+אתה מתכוון ל6 אפשרויות ולא שלוש (כל אפשרות שקולה לתמורה על שלושה איברים ומסםר התמורות על 3 איברים הוא 6), ולכן התוצאה שרשמת שהיא שישית ממספר התמורות על n איברים היא נכונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:09, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
-תודה
+===תשובה להערונת===
+התכוונתי שיש 3 אפשרויות כאשר יודעים כבר ש<math>n</math> מופיע לפני <math>n-1</math>, 3 אפשרויות אלה הן כאשר <math>n-2</math> מופיע לפני שניהם, בניהם או אחרי שניהם (זה המספר שמחפשים), ובאותו אופן כמו בסעיף הקודם, גם פה 3 האפשרויות האלה שוות, ולכן כל אחת מהן שווה ל<math>1/6n!</math> וסכומן שווה ל<math>0.5n!</math> :) אבל תאכלס אפשר לעשות את זה שוב מההתחלה כשלא מתייחסים לסעיף א' ויש <math>n!</math> אפשרויות סך הכל ואז מחלקים את זה ל!3 אפשרויות שוות, כלומר 6.
+:סבבה, זו גם דרך. רק עשה לי טובה, במקרים כאלה במבחן, אם אתה מניח הנחות יסוד כאלו, כמו שאתה מדבר על "אפשרויות כאשר יודעים כבר ש<math>n</math> מופיע לפני <math>n-1</math>, 3", אז רשום זאת! אל תיתן לבודק לנחש את זה, כי זה עלול להוריד נקודות. מספיק שרשמת את שתי המילים האלו וזה כבר ניקוד מלא. בהצלחה במבחן! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:48, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
-:האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?
+==שאלה קצרצרה נוספת==
+מספר היחסים על קבוצה בעלת n איברים, זה בעצם מספר הפונקציות מA לA, כלומר n בחזקת n? או משהו אחר? תודה!
-==שתי שאלות==
+===תשובה===
-. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?
+מספר היחסים על קבוצה A בת n איברים היא הגודל של <math>P(A \times A)</math>, שהיינו <math>2^{n^2}</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
-. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?
+==שאלה קצרה מאוד על עוצמות==
+קבוצת כל הפונקציות מהטבעיים לקבוצת תת הקבוצות של הטבעיים, מהי עוצמתה? לפי החישוב שלי, הקבוצה שווה לP)N( בחזקת N, כלומר העוצמה שווה ל-א בחזקת א0. אך מהי העוצמה א בחזקת א0? א? או יותר, 2 בחזקת א? איך אפשר לדעת את זה? תודה רבה!
-תודה רבה.
+===תשובה===
+ישנן כמה נוסחאות לגבי עוצמות אינסופיות שצריך לדעת. אחת מהן היא שאם <math>k</math> אינסופית ו<math>\lambda<k</math> אזי <math>k^\lambda=k</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:29, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+==3 שאלות על הרכבת פונקציות==
+-אם <math>g*f=Id</math> אז <math>g(f(x))=x</math> או ש <math>f(g(x))=x</math>? כי ניתקלתי בבעיה שקשורה לזה (השאלה השניה).
+-אפשר להגיד ש אם F חחע אז F הפיכה משמאל ואם F על אז היא הפיכה מימין, נכון?
+-איך מוכיחים את מה שצריך להוכיח בשאלה 2 במבחן 2007 מועד א' (http://math-wiki.com/images/4/4f/BdidaExamMoedA2007.pdf) ?
+:ב-א', הוכחתי את הכיוון משמאל לימין, ע"י כך שאם g1*f=g2*f אז בגלל ש'''f הפיכה מימין''' אז נרכיב את f-1 מימין ואז g1=g2. בכיוון השני נתקעתי.
+:ב-ב', לא הצלחתי בכלל. התחלתי ככה: צריך להוכיח שf חחע, כלומר או שנוכיח שאם f(a1)=f(a2) אז a1=a2 או שנוכיח שהיא הפיכה משמאל (לא בטוח מה עדיף). הפונקציה הזאת שמסומנת בסימון של קבוצה ריקה היא על ולכן והפיכה מימין, ולכן O*h=Id ולכן (ופה נתקעתי, לא הייתי בטוח <math>O(h(x))=x</math> ולכן (?) <math>h(x)*f=x</math> ופה יש משהו לא הגיוני. אפשר עזרה? תודה!
 ===תשובה===
-. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.
+אם <math>g*f=Id</math> אז <math>g(f(x))=x</math>.
-. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)
+בקשר לשאלה במבחן הנ"ל, הפיתרון הפשוט (לדעתי) של הסעיף הוא כדלקמן:
-'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.
+כיוון אחד
-==שאלה על הגדרת הפונקציה==
+) אם <math>f</math> חח"ע אזי היא הפיכה משמאל ע"י איזושהי פונקציה שנסמנה <math>h : B \rightarrow A</math>.
-כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות  זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.
-אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות
+) כעת, לכל פונקציה <math>\psi \in C^A</math> יש מקור <math>g=\psi \circ h \in C^B</math> לפי פונקציה <math>\Phi</math>, כי <math>\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi</math> ולכן <math>\Phi</math> על.
-:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)
+כיוון שני
-==שאלה על פונקציה חח"ע==
+) אם <math>f</math> לא חח"ע אז קיימים <math>a_1,a_2 \in A</math> שונים כך ש<math>f(a_1)=f(a_2)</math>.
-אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]
-או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?
-:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.
-==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==
+) לכן לכל <math>g \in C^B</math>, הפונקציה <math>\Phi(g)=g \circ f</math> מקיימת <math>g \circ f(a_1)=g \circ f(a_2)</math>.
-הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.
-ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי
-<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math>
-(שני)
+) אולם, קיימות הפונקציות <math>h \in C^A</math> כך ש<math>h(a_1) \neq h(a_2)</math>, כי <math>C</math> מכילה לפחות שני איברים, וכתצואה מכך <math>\Phi</math> איננה על.
-== שאלה לגבי הבוחן==
+[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
-האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)
+====אם F חחע אז היא הפיכה '''משמאל''', לא מימין, לא?====
-==שאלה 7==
+צודק, רשמתי את ה"הפיכה מימין" כשהתכוונתי להפיכה משמאל, וגם השתמשתי בה כהפיכה משמאל כך שהמילה "ימין" צריכה פשוט להיות מוחלפת ב"משמאל". אשנה זאת מיד.[[מיוחד:תרומות/79.180.9.140|79.180.9.140]] 19:11, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
-כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.
----> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')
+==שאלה (קצת מוזרה, אבל מבלבלת) על איחוד קבוצות==
+נניח שX שייך לA חיתוך B חיתוך C. אני יכול להגיד בוודאות ש X שייך ל
+:(AחיתוךBחיתוךC) איחוד (AחיתוךBחיתוךC'(משלים)) איחוד (AחיתוךB'חיתוךC') איחוד (A'חיתוךB'חיתוךC)? האם זה נכון בטוח בגלל שאחד מהגורמים באיחוד הוא A חיתוך B חיתוך C? תודה!
-==A^2 יח"ש==
+===תשובה===
-צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
+כן. ניתן לומר זאת בודאות כי אחד הגורמים באיחוד הוא הוא A חיתוך B חיתוך C.
-: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
-==שאלה 3א בתרגיל 3==
+[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 10:49, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
-נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
+:תודה רבה אני מאוד מעריך את כל העזרה שלך!!
-לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.
-:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה סופית היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
-::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.
-==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
+==עזרה (מבחן 2009 מועד ב' שאלה 7 ב'2 .)==
-האם הכוונה בz5 היא המודולו?
+הוכחתי את 1, ע"י חילוק למקרים, אם C=100 אז A וB יכולים להיות מ1 עד 99, 99 בריבוע אפשרויות, אם C=98 אז יש 98 בריבוע אפשרויות וכך הלאה ומקבלים את הסכום הדרוש. אבל לא משנה איך אני מנסה להסתכל על זה, אני לא רואה איך העוצמה של S שווה לתוצאה שכתובה ב2. אפשר עזרה לפני המבחן? תודה רבה!!
-:אכן.
-==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
+===תשובה===
-האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
+את חלק ב' מוכיחים באופן קומבינטורי. כשיש לנו שלישיה סדורה <math>(a,b,c)</math> כך ש<math>a<b \wedge a<c</math> אז קורה אחד (ואחד בלבד) משלושת הדברים הבאים:1) <math>b=c</math> או 2) <math>b<c</math> או 3) <math>b>c</math>. כל המקרים ב1) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת שני איברים מתוך 100, הצבת הקטן מבין השניים באינדקס הראשון והצבת הגדול מבין השניים באינדקסים השני והשלישי; כל המקרים ב2) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטן ביותר באינדקס הראשון, הצבת האמצעי באינדקס השני והצבת הגדול ביותר באינדקס השלישי; כל המקרים ב3) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטןביותר באינדקס הראשון, הצבת הגדול ביותר באינדקס השני והצבת האמצעי באינדקס השלישי. עקב כך, מקבלים את הנוסחה הרשומה בטופס המבחן בסעיף ב'.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 10:46, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
-:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
+:תודה
-**קבוצות
-**יחסים
-**פונקציות
-כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)
+==איחוד או חיתוך==
+סליחה שאני שואלת המון שאלות..
--אבל לפי התרגול או ההרצאה?
+איך מוכיחים שאם X מוכלת ב-A חיתוך B אז X מוכלת ב-A וגם X מוכלת ב-B? (במיוחד צריך לשים לב שההוכחה לא מתאימה גם לאיחוד במקום חיתוך, בשונה מההוכחה אצלי במחברת)
-:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).
+שוב, תודה מראש!
+===שאלות זה טוב===
+אם <math>X \subseteq A \bigcap B</math> אז לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A \bigcap B</math>, דהיינו <math>x \in A</math> וגם <math>x \in B</math>. מכיוון שלכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> אז <math>X \subseteq A</math>, ומכיוון שלכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in B</math> אז <math>X \subseteq B</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+:תודה רבה, אבל: אם <math>X \subseteq A \bigcup B</math> אז לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A \bigcup B</math>, דהיינו <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> ואז*** <math>X \subseteq A</math>, או <math>x \in B</math> ואז*** <math>X \subseteq B</math>.
+:מה שמסומן ב-*** כמובן לא נכון, אבל איך מסבירים את זה שהדבר נכון רק עבור חיתוך ולא איחוד?
+::כל <math>x\in X</math> מקיים <math>x\in A</math> '''-או-''' <math>x\in B</math>. בפרט, מאד ייתכן שקיים <math>x\in X</math> כך ש<math>x\notin A</math>. אתה שינית לוגית את המשפט - במקום לומר 'כל איבר שייך לA או B' אמרת 'כל האיברים שייכים לA או כל האיברים שייכים לB'. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:18, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
+:::באמת שיניתי לוגית את המשפט בלי לשים לב! אם כך, רק אם '''''לכל''''' <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> אז <math>X \subseteq A</math>, ובאיחוד זה לא לכל x. הבנתי, תודה לכם!
+==הוכחה טריוויאלית==
+מהי הדרך הנכונה ביותר להוכיח שאם <math>P(A)</math> מוכל (או שווה) ב(ל)-<math>P(B)</math> אז A מוכל (או שווה) ב(ל)-B?
+(פשוט ההוכחה אצלי במחברת לא ברורה לי)
+===תשובה===
+אם <math>P(A) \subseteq P(B)</math> אז לכל <math>X \in P(A)</math> מתקיים <math>X \in P(B)</math>.
+בפרט, <math>A \in P(A)</math> ולכן <math>A \in P(B)</math>, כלומר <math>A \subseteq B</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:57, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
+:אהה, תודה!
+==יחסים==
+האם האיבר הקטן ביותר הוא תמיד המינימלי היחיד? (כשהוא קיים)
+===תשובה===
+כן [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:32, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
+:תודה!
----> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')
 <!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------>

הבדלים בין גרסאות בדף "בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות"

גרסה אחרונה מ־11:30, 3 באוקטובר 2010

הוראות

ארכיון

שאלות

המבחן=

הפגישה

פקטור

תשובה

חלוקת הציון

ציונים

שאלה חשובה ממבחן

תשובה (לא מתרגל)

הוכחת יחס בפרט

2007 מועד ב'

מבחן 2007 מועד א'

בקשה לפקטור

שאלות על הפתרון

פתרון המבחן

הצלחה במועד ב'

תשובה

עוד 2 שאלות קצרות ואחרונות בהחלט!

תשובה

2 שאלות, אם מתרגל עדיין נמצא פה..

תשובה

עוד אפשרות

שאלה לסיום

תשובה

שיבוצי הכיתות

חוקי עוצמות

תשובה

תשובת מתרגל

מתי המבחן?

שאלה 1, סעיף 4 בדף רקורסיה

תרגיל 2

אפשר עזרה בשאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'?

תשובה

תשובת מתרגל (אע"פ שהתשובת המתרגל כבר רשומה למעלה)

בעיות ענקיות עם הרכבת פונקציות... -עזרה בבקשה..-

תשובה

הפרכה בעזרת דוגמה

תשובה

שאלה 1ג מועד א 2008

אישור

שאלה

תשובה

פרטים בקשר למבחן

הרכבה ריקה

תשובה

סריג

תשובה

תשובה לשאלות על התשובה

שאלה על אחת השאלות פה

שאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'

שאלה 2 מועד ב' 2008

איך להוכיח (2008 מועד ב' שאלה 1 א')

תשובה+הערות כתיבה

שאלות 2א+ב מועד ב 2009

תשובה

הערונת

תשובה להערונת

שאלה קצרצרה נוספת

תשובה

שאלה קצרה מאוד על עוצמות

תשובה

3 שאלות על הרכבת פונקציות

תשובה

אם F חחע אז היא הפיכה משמאל, לא מימין, לא?

שאלה (קצת מוזרה, אבל מבלבלת) על איחוד קבוצות

תשובה

עזרה (מבחן 2009 מועד ב' שאלה 7 ב'2 .)

תשובה

איחוד או חיתוך

שאלות זה טוב

הוכחה טריוויאלית

תשובה

יחסים

תשובה

Math-Wiki