בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

${n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

שאלות

שאלה על הרכבת יחסים

מה זה אומר R הרכבה R? לפי ההגדרה שנתתם, נראה לי שR הרכבה R זה פשוט R. אני טועה? תודה.

תשובה

דבר ראשון, על מנת שההרכבה בכלל תהיה מוגדרת היחס חייב להיות מהצורה $R \subseteq A\times A$.

לדוגמא, נניח והזוג היחיד בתוך R הינו (a,b). אזי בR הרכבה על R לא יהיו זוגות כלל. כי לפי ההגדרה,

$(c,d)\in R \circ R \iff \exist e \in A :(c,e) \in R \and (e,d) \in R$

וכאן הסיטואציה הזו לא מתקיימת אלא אם כן $a=b=c=d=e$.

--ארז שיינר 17:28, 31 ביולי 2010 (IDT)

תרגיל 5 א'

בתרגיל מבקשים הרכבה של קבוצות כמו בשאלה 4, אך יש מקרים שלא תואמים את מה שציינתם בתשובה לגבי הרכבה של פונקציות... הקבוצות של המכפלה הקרטזית לא תואמות זו את זו..

למה אתה מתכוון במקרים לא תואמים? Adam Chapman 22:12, 31 ביולי 2010 (IDT)

תרגיל 7 ג'

הכוונה ל $(AXA)\setminus (R\cup I_{A})$ או ל $((AXA)\setminus R)\cup I_{A}$  ?

לפי השאלה נראה לי שהם מתכוונים לאפשרות השנייה שאמרת (כי האפשרות הראשונה היא כמו בסעיף הקודם רק עם עוד פחות דברים, שזה לא הגיוני כל כך לשאלה).

תרגיל 6

בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB. ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת: R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A (a,a שייך ל R.

ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות. אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?

אדי

תשובה

שים לב כי $A\times B$ הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה $((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)$

איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?

הבנתי: לכל $(a,b)\in (A\times B)$

$((a,b),(a,b))\in G$

תודה.

הערה

נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.

תשובה

יש ארכיון Adam Chapman 16:29, 30 ביולי 2010 (IDT)

דיברתי על משהו אחר ואל התלמידים. לא משנה :) (זה ארז)

תרגילים 3 ו4

בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!

בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).

תשובה

• לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)
• איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.

נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.

אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן $R\subseteq A\times B$ ולא רואה את הסימן $R= A\times B$

הערה

אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]

אדי, שים לב לשאלה הוכח/הפרך. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון או להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.

מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)

--ארז שיינר 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)

הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.

תרגיל 2

בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?

• תוספת לשאלה: לא אמורים לפתור את זה כמו שפתרנו את 1? פשוט להפריך את אחת מתכונות יחס השקילות בכל סעיף? כאשר מדובר על קבוצה עם זוגות סדורים (x,y)

תשובה

שאלה טובה. זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין $A$ ל$B$ הוא תת-קבוצה של $A \times B$.

פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.

הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:

אם $R \subseteq A \times B$ וגם $S \subseteq B \times C$ אז $S \circ R \subseteq A \times C$

כך ש$(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R$.

עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ. Adam Chapman 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)

תרגיל 2

שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו? תודה, שלומי

המתרגלת שלנו אמרה לנו שביום רביעי.