גבול פונקציה

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־05:41, 24 בדצמבר 2011 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (גבול פונקציה לפי קושי)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לפונקציות

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, x יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

גבול פונקציה לפי קושי

הגדרה. L נקרא הגבול של f בנקודה a אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל \epsilon>0 קיים \delta>0 כך שלכל x המקיים 0<|x-a|<\delta מתקיים |f(x)-L|<\epsilon


(הערה: סביבה מנוקבת של a הינה סביבה של a שמוציאים ממנה את a.)


הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר y שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר x (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר x קרובות מספיק ל-a אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-L.


תרגיל.

הוכח לפי ההגדרה כי \lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8

פתרון. יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם 0<|x-2|<\delta אזי מתקיים \Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|<\epsilon

נפתח את הביטוי:

\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|=\Big|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x^2-2x}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|


אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

כאשר \delta<1, עבור 0<|x-2|<\delta<1 מתקיים 2<x+1 ולכן:


\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|<\frac{|x(x-2)|}{2}


כמו כן, מתקיים x<3 ולכן:

\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|<\frac{3|x-2|}{2}<\frac{3}{2}\delta


לסיכום, קיים דלתא כך ש \delta<1 וגם \delta<\frac{2}{3}\epsilon עבורו מתקיים:


\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|<\frac{3}{2}\delta=\epsilon