שינויים
==תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון=תרגיל 1==='''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש עבורה <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח שכי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
'''פתרון''': נוכיח ש כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת. :<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&< \dfrac{1}{2^m}+\dfrac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\dfrac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\&=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac{1}{2^n}\left[1-\frac{1}{2^{m-n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\le\frac{1}{2^n}\to0\end{align}</math>
===תרגיל 2==='''תרגיל''': תהי סדרה <math>|a_m-\{a_n\}</math> עבורה <math>|=|a_m-a_{m-1}n+a_{m-1}-a_{m-2}+...a_n|\le p|a_n-a_{n+-1}+a_|</math>. הוכח כי <math>\{n+1}-a_n|\leq }</math>מתכנסת עבור <math>0<p<1</math>.
'''פתרון''': נוכיח כי <math>\leq |a_m-a_{m-1a_n\}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|<</math>סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
ראשית, נשים לב כי:<math>< \frac|a_{n+1}{2^m}+-a_n|\fracle p|a_n-a_{n-1}{2|\le p^2|a_{mn-1}-a_{n-2}+...+|\frac{1}{2le\cdots\le p^{n+-1}}|a_2-a_1|</math>נסמן <math>d=\frac{1}{2^|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}}[-a_n|\frac{1}{2le p^{m-n-1}}+...+1]d</math> (לפי הנתון).
כעת:<math>=\fracbegin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{2^m-1}+\cdots-a_{n+1}}[\frac+a_{n+1}-a_n|\frac\&\le|a_m-a_{m-1}{2^|+|a_{m-n}}1}-a_{1m-2}|+\fraccdots+|a_{n+1}-a_n|\\&\le p^{m-2}}]=d+\fraccdots+p^{n-1}d\\&=p^{2n-1}d(p^{m-n-1}[+\cdots+1-)\frac\&=p^{n-1}d\left[\frac{21-p^{m-n-1}}]=\frac{1-p}{2\right]\\&\le p^{n}-1}\frac{1d}{2^m1-p}\leq to0\fracend{1align}{2</math> מכיוון ש־<math>p^n} \rightarrow 0to0</math> עבור <math>p<1</math>.
