הבדלים בין גרסאות בדף "דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
שורה 1: שורה 1:
 
===תרגיל 1===
 
===תרגיל 1===
'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
+
'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> עבורה <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
  
'''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.  
+
'''פתרון''': נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
 
+
:<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&< \dfrac{1}{2^m}+\dfrac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\dfrac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\&=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac{1}{2^n}\left[1-\frac{1}{2^{m-n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\le\frac{1}{2^n}\to0\end{align}</math>
 
+
<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math>
+
 
+
<math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|<</math>
+
 
+
<math>< \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1]</math> (לפי הנתון)
+
 
+
<math>=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0</math>
+
  
  
 
===תרגיל 2===
 
===תרגיל 2===
'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|</math>, עבור <math>0<p<1</math> הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
+
'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> עבורה <math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|</math>. הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת עבור <math>0<p<1</math>.
 
+
'''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
+
 
+
דבר ראשון, נשים לב ש- <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|\leq p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq ...\leq p^{n-1}|a_2-a_1|</math>. נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\leq p^{n-1}d</math>
+
 
+
 
+
 
+
כעת,
+
  
<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math>
+
'''פתרון''': נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
  
<math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|\leq</math>
+
ראשית, נשים לב כי
 +
:<math>|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|</math>
 +
נסמן <math>d=|a_2-a_1|</math> ולכן סה"כ <math>|a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d</math>.
  
<math>\leq p^{m-2}d+...+p^{n-1}d = p^{n-1}d(p^{m-n-1}+...+1)=p^{n-1}d(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}) \leq p^{n-1}\frac{d}{1-p} \rightarrow 0 </math> (לפי מה שהראנו)
+
כעת
 +
:<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d\\&=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)\\&=p^{n-1}d\left[\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right]\\&\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0\end{align}</math>
  
מכיוון ש<math>p^n\rightarrow 0</math> עבור p<1.
+
מכיוון ש־<math>p^n\to0</math> עבור <math>p<1</math>.

גרסה אחרונה מ־18:30, 25 בינואר 2021

תרגיל 1

תרגיל: תהי סדרה \{a_n\} עבורה |a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}. הוכח כי \{a_n\} מתכנסת.

פתרון: נוכיח כי \{a_n\} סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

\begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&< \dfrac{1}{2^m}+\dfrac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\dfrac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\&=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac{1}{2^n}\left[1-\frac{1}{2^{m-n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\le\frac{1}{2^n}\to0\end{align}


תרגיל 2

תרגיל: תהי סדרה \{a_n\} עבורה |a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|. הוכח כי \{a_n\} מתכנסת עבור 0<p<1.

פתרון: נוכיח כי \{a_n\} סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

ראשית, נשים לב כי

|a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1|

נסמן d=|a_2-a_1| ולכן סה"כ |a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d.

כעת

\begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d\\&=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)\\&=p^{n-1}d\left[\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right]\\&\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0\end{align}

מכיוון ש־p^n\to0 עבור p<1.