דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי

תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון

תרגיל: תהי סדרה $\{a_n\}$ כך ש $|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}$. הוכח ש$\{a_n\}$ מתכנסת.

פתרון: נוכיח ש $\{a_n\}$ סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

$|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq$

$\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|<$

$< \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1]$ (לפי הנתון)

$=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0$