דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תרגיל 1

תרגיל: תהי סדרה \{a_n\} כך ש |a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}. הוכח ש\{a_n\} מתכנסת.

פתרון: נוכיח ש \{a_n\} סדרת קושי, ולכן מתכנסת.


|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq

\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|<

< \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1] (לפי הנתון)

=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0


תרגיל 2

תרגיל: תהי סדרה \{a_n\} כך ש |a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|, עבור 0<p<1 הוכח ש\{a_n\} מתכנסת.

פתרון: נוכיח ש \{a_n\} סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

דבר ראשון, נשים לב ש- |a_{n+1}-a_n|\leq p|a_n-a_{n-1}|\leq p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq ...\leq p^{n-1}|a_2-a_1|. נסמן d=|a_2-a_1| ולכן סה"כ |a_{n+1}-a_n|\leq p^{n-1}d


כעת,

|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq

\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|\leq

\leq p^{m-2}d+...+p^{n-1}d = p^{n-1}d(p^{m-n-1}+...+1)=p^{n-1}d(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}) \leq p^{n-1}\frac{d}{1-p} \rightarrow 0 (לפי מה שהראנו)

מכיוון שp^n\rightarrow 0 עבור p<1.