==פתרון==
דבר ראשון, נוכיח את הטענות הבאות:
*<math>\sum\frac{q^n}{n}</math> מתכנס בהחלט אם <math>|q|<1</math>.
הוכחה:
<math>\sum|\frac{q^n}{n}|\leq \sum|q^n| < \infty</math>
*<math>\sum\frac{q^n}{n}</math> מתבדר אם <math>|q|>1</math>
הוכחה:
נסמן <math>|q|=1+\alpha</math>, כאשר <math>\alpha>0</math>. לכן לפי אי שיוויון ברנולי <math>|q|^n = (1+\alpha)^n \geq 1+n\alpha</math>
לכן <math>\frac{|q|^n}{n}\geq \frac{1+n\alpha}{n} \geq \alpha </math> ולכן <math>\lim \frac{|q|^n}{n} \neq 0</math> ולכן <math>\lim\frac{q^n}{n}\neq 0</math> ולכן הטור וודאי מתבדר.
כעת, נסמן <math>q=\frac{2x}{x+4}</math> נותר לבדוק מתי |q| גדול מאחד, קטן מאחד או שווה ממש לאחד.
נפתור את אי השיוויון <math>|\frac{2x}{x+4}| <1</math>. קל לראות ש <math>\frac{2x}{x+4}\geq 0</math> כאשר <math>x>0</math> או <math>x<-4</math>. במקרים אלה ניתן להוריד את הערך המוחלט ולפתור את אי השיוויון.
אם <math>x>0</math> אזי <math>x+4 >0 </math>, ורוצים לפתור את אי השיוויון <math>\frac{2x}{x+4} > 1</math> מותר לכפול ב(x+4) ולכן נקבל x>4. לכן סה"כ הטור מתבדר עבור x>4. עבור x<4 יוצא ש <math>\frac{2x}{x+4} < 1</math> ולכן הטור מתכנס בהחלט עבור <math>0<x<4</math>
אם <math>x<-4</math> אזי <math>x+4 <0 </math> ולכן נכפול ב(x+4) ונחליף את כיוון אי השיוויון לקבל x<4. ביחד עם x<-4 נקבל שהטור מתבדר עבור x<-4. המקרה x>4 לא רלוונטי לנו במקרה זה.
אם <math>-4<x<0</math> אזי צריך לפתור את אי השיוויון <math>-\frac{2x}{x+4} > 1</math>, שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל <math>3x+4<0</math> ולכן <math>x<-\frac{4}{3}</math>, ולכן עבור <math>-4<x<\frac{4}{3}</math> הטור מתבדר. עבור <math>\frac{4}{3}<x<0</math> הטור מתכנס בהחלט.
סיכום ביניים:
עבור <math>x<-4</math> מתבדר
עבור <math>-4<x<-\frac{4}{3}</math> מתבדר
עבור <math>-\frac{4}{3}<x<0</math> מתכנס בהחלט
עבור <math>0<x<4</math> מתכנס בהחלט
עבור <math>x>4</math> מתבדר
כל שנותר לעשות הוא לבדוק את מקרי הקצה <math>x=-4,-\frac{4}{3},0,4</math>
עבור <math>x=-4</math> הטור כלל אינו מוגדר.
עבור <math>x=-\frac{4}{3}</math> מקבלים את הטור <math>\sum \frac{(-1)^n}{n}</math> שהוא מתכנס בתנאי כידוע
עבור <math>x=0</math> מקבלים את הטור של הסדרה הקבועה אפס שהוא בוודאי מתכנס בהחלט
עבור <math>x=4</math> מקבלים את הטור ההרמוני <math>\sum\frac{1}{n}</math> שהוא מתבדר.
===סיכום===
עבור <math>x<-4</math> מתבדר
עבור <math>x=-4</math> לא מוגדר
עבור <math>-4<x<-\frac{4}{3}</math> מתבדר
עבור <math>x=-\frac{4}{3}</math> מתכנס בתנאי
עבור <math>-\frac{4}{3}<x<4</math> מתכנס בהחלט
עבור <math>x\geq 4</math> מתבדר