::<math>P([s])\iff s</math>
כפי שרצינו.
===סיום הוכחת משפט אי השלימות הראשון של גדל בעזרת הלמה של טרצקי===
שימו לב שמתוך הלמה של טרצקי לא ניתן להגדיר את קבוצת כל המשפטים שהם 'אמת'. הרי אם הייתה קבוצה כזו, היה ניתן להגדיר נוסחא מספרית <math>=P(x)</math> "{x} אינו שייך לקבוצת המשפטים שהם 'אמת' ". לפי הלמה קיים משפט השקול לכך שאינו בקבוצת האמת, ולכן אם הוא אמת הוא אינו אמת, ואם הוא אינו אמת הוא אמת. (זו סתירה הדומה לפרדוקס של ראסל.)
לעומת זאת, מכיוון שאוסף כל הטקסטים בשפה הוא בן מנייה, בפרט אוסף ההוכחות הוא בין מנייה, ולכן ניתן להגדיר את קבוצת כל המשפטים שניתן להוכיח (הם פשוט השורה האחרונה של כל הוכחה תקינה). נגדיר את הנוסחא <math>=P(x)</math> "{x} אינו שייך לקבוצת המשפטים הניתנים להוכחה ". כעת לפי הלמה של טרוצקי יש משפט השקול לכך שהוא אינו בקבוצת המשפטים הניתנים להוכחה. אם הוא היה שקר, סימן שהוא ניתן להוכחה ולכן הוא אמת וזו סתירה. אם הוא אמת, לעומת זאת, אין סתירה אך הוא אינו ניתן להוכחה.
מכאן המשפט נובע באופן ישיר: או שהתאוריה אינה שלימה (היא מכילה סתירה) או שהיא אינה עקבית (קיים משפט שלא ניתן להוכיחו ולא ניתן
להפריכו).