שינויים

את כל המשפטים במתמטיקה אפשר, עקרונית, להוכיח באופן פורמלי ממערכת אקסיומות אחת, המתארת תכונות בסיסיות של קבוצות. מערכת האקסיומות האלה, המתארות את תורת הקבוצות, נקראות "הנפוצה ביותר נקראת '''אקסיומות צרמלו-פרנקל" (''', על-שם המתמטיקאים שניסחו אותן). רוב האקסיומות פשוטות בתכלית: קיימת קבוצה ריקה, לכל קבוצה יש קבוצת חזקה, וכדומה. רק אקסיומה אחת ברשימה טוענת טענה שאפשר לא לקבל אינטואיטיבית. לאקסיומה זו, הקרויה שקמו חולקים על מידת האינטואיטיביות שלה: '''אקסיומת הבחירה'''. בשורש המחלוקת לגבי האקסיומה ניצב הפער שבין קיום למימוש "אלגוריתמי". באחת מגרסאותיה השקולות, יש גרסאות שקולות האקסיומה מבטיחה קיומה של פונקציה, מבלי לספק כל הסבר כיצד היא פועלת, דבר שלא היה מקובל במתמטיקה הקלאסית. עם השנים, התקבלה האקסיומה כמעט ללא עוררין, בין השאר בשל נחיצותה לתוצאות חשובות רבותבמתמטיקה. הוכחת הלמה של צורן השתמשה באקסיומת הבחירה. בהנתן האקסיומות האחרות של צרמלו ופרנקל, אפשר (ולמעשה, לא קשה) להוכיח את אקסיומת הבחירה בעזרת הלמה של צורן. לכן, הלמה של צורן שקולה לאקסיומת הבחירה. כיון שהלמה של צורן היא אחת מהן (את השקילות אפשר להוכיח משאר האקסיומותאו אקסיומת הבחירה)חיונית כל כך בכל ענפי המתמטיקה, עם השנים אומצה אקסיומת הבחירה כאקסיומה הכרחית באקסיומטיקה של המתמטיקה.