שינויים
/* ניסוח */
תהי <math>X</math> '''קבוצה סדורה חלקית''' (קבוצה עם יחס סדר חלקי <math>\le</math>). תת-קבוצה <math>C</math> של <math>X</math> הסדורה קוית (כל שני איברים של <math>C</math> ניתנים להשוואה) נקראת '''שרשרת'''.
'''דוגמאות:''' אם <math> x_1< x_2 < \cdots</math> אז <math>\{x_1,x_2,\dots\}</math> היא שרשרת, שבה לכל איבר יש עוקב ישיר. אבל זהו בשום אופן אינו המקרה הכללי: בדרך כלל אין זה המצב. למשל, המספרים הרציונליים מהווים שרשרת שבה אין לאף איבר עוקב ישיר. המספרים הממשיים הם שרשרת שאינה בת מניה.
'''הלמה של צורן'''. תהי <math>X </math> קבוצה לא ריקה, עם התכונה שלכל שרשרת (לא ריקה) ב-<math>X </math> יש חסם מלעיל. אז יש ב-<math>X </math> איבר מקסימלי.
'''הערות'''
# הטענה כמובן אינה נכונה אם <math>X </math> ריקה. זו אינה נקודה שולית: הלמה של צורן מספקת הוכחת קיום, וכדי להפעיל אותה יש לוודא שקיים איזשהו איבר בקבוצה <math>X</math>; רק אחר-כך מספקת הלמה איבר מקסימלי בקבוצה.# הכיוון ההפוך ללמה הוא טריוויאלי: איבר מקסימלי של <math>X </math> הוא חסם מלעיל לכל תת-קבוצה.# אם <math>X </math> קבוצה סדורה לינארית, טענת הלמה נכונה באופן טריוויאלי (משום ש-<math>X </math> עצמה היא שרשרת, ולפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, שהוא איבר מקסימלי). הלמה נועדה, איפוא, לטפל במקרים שבהם הסדר של <math>X </math> אינו לינארי.# במקרה שהקבוצה הסדורה <math>X </math> סופית, אין צורך בלמה: ניקח איבר כלשהו של <math>X</math>. אם הוא מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו. אם האיבר החדש מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו, וכו'. כל עוד איננו נעצרים באיבר מקסימלי, אנו מקבלים איברים חדשים של <math>X</math>. כיון שהקבוצה <math>X </math> סופית, התהליך חייב להפסק לאחר מספר סופי של צעדים, כלומר ניעצר באיבר מקסימלי.# מבחינה אינטואיטיבית, אפשר לבצע את התהליך של ההערה הקודמת גם במקרה ש <math>X </math> קבוצה אינסופית. כאן, מופיע מרכיב נוסף: לאחר שבחרנו איברים <math>x_1<x_2<x_3<\cdots</math>, ייתכן שאף אחד מהם אינו מקסימלי. זה המקום שעלינו להשתמש בתנאי של הלמה של צורן, האומר שלכל שרשרת, ובפרט לשרשרת הזו, יש חסם מלעיל. נקרא לו, למשל, <math>x_\omega</math>. כעת אפשר להמשיך את התהליך של בחירת איברים יותר ויותר גדולים, ואם לא ניעצר, נקבל שוב שרשרת, ושוב יהיה לה חסם מלעיל, ושוב אפשר להמשיך. בכל צעד, מוסיפים לשרשרת איבר חדש של X. לכן, התהליך חייב להיעצר מתישהו לפני שהקבוצה <math>X </math> "נגמרת". כיון שהקבוצה אינסופית, לא ברורה המשמעות של הטיעון הזה כל עוד לא מפתחים מנגנון עבור בניה באינדוקציה מעבר למקרה הבן מניה. כיון שאין כאן המקום להאריך בזה, ניתן במקום זאת הוכחה בצורה אחרת.
=== הלמה של צורן עבור משפחה של קבוצות ===
