שינויים
/* הגרסה החזקה של הלמה של צורן */
'''הלמה של צורן''' היא למה יסודית במתמטיקה, המאפשרת להוכיח קיום של אובייקטים מתמטיים שקשה (ולפעמים אי אפשר) לבנות באופן ישירבצורה מפורשת.
== הלמה של צורן ==
=== ניסוח ===
תהי <math>X </math> '''קבוצה סדורהחלקית''' (קבוצה עם יחס סדר חלקי חלש<math>\le</math>). תת-קבוצה <math>C</math> של <math>X </math> הסדורה לינארית קוית (כל שני איברים של <math>C</math> ניתנים להשוואה) נקראת '''שרשרת'''.
'''דוגמאות:''' אם <math> x_1< x_2 < \cdots</math> אז <math>\{x_1,x_2,\dots\}</math> היא שרשרת, שבה לכל איבר יש עוקב ישירמיידי. אבל זהו בשום אופן אינו המקרה הכללי: בדרך כלל אין זה המצב. למשל, המספרים הרציונליים מהווים שרשרת שבה אין לאף איבר עוקב ישירמיידי. המספרים הממשיים הם שרשרת שאינה בת מניה.
'''הלמה של צורן'''. תהי <math>X </math> קבוצה לא ריקה, עם התכונה שלכל שרשרת (לא ריקה) ב-<math>X </math> יש חסם מלעיל. אז יש ב-<math>X </math> איבר מקסימלי.
'''הערות'''
=== הלמה של צורן עבור משפחה של קבוצות =שימושים ==
=== לכל מרחב וקטורי יש בסיס ===
לפי הלמה של צורן, יש ב-X קבוצה מקסימלית, שנסמן ב-B. היא בלתי-תלויה לינארית (משום שכל הקבוצות ב-X כאלה). נשאר להראות שהיא פורשת את המרחב V. יהי <math>\ v\in V</math>. אם הוקטור v אינו נפרש על-ידי B, אז הקבוצה <math>\ B \cup \{v\}</math> בלתי-תלויה לינארית, וזו סתירה למקסימליות של B. לכן כל וקטור נפרש על-ידי B, ומכאן ש-B בסיס.
=== עקרון המקסימום של האוסדורף ===
אוסף השרשראות בקבוצה סדורה חלקית, סדור בעצמו על-ידי יחס ההכלה. שרשרת היא '''מקסימלית''' אם אינה מוכלת באף שרשרת אחרת.
'''למה'''. איחוד של שרשרת של שרשראות הוא בעצמו שרשרת. אכן, תהי <math>\ \Lambda = \{A_{\alpha}\}</math> שרשרת של שרשראות (היינו, כל <math>\ A_{\alpha}</math> היא שרשרת, ולכל <math>\ \alpha,\beta</math> מתקיים <math>\ A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}</math> או <math>\ A_{\beta} \subseteq A_{\alpha}</math>). יהיו <math>\ x,y \in \bigcup \Lambda</math>, אז יש <math>\ \alpha, \beta</math> כך ש-<math>\ x\in A_{\alpha}, y \in A_{\beta}</math>. נניח, בלי הגבלת הכלליות, ש-<math>\ A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}</math>. אז <math>\ x,y \in A_{\beta}</math>, והם נתנים להשוואה משום ש-<math>\ A_{\beta}</math> שרשרת.
'''עקרון המקסימום של האוסדורף'''. בכל קבוצה סדורה חלקית יש שרשרת מקסימלית.
'''הוכחה'''. לפי הלמה, אוסף השרשראות מקיים את תנאי הלמה של צורן, ולכן יש בו איבר מקסימלי.
עקרון המקסימום הוא משפט שימושי ביותר, שאפשר להוכיח ממנו את כל הטענות האחרות בדף הזה. למעשה, אפשר להוכיח ממנו בקלות את הלמה של צורן עצמה:
'''טענה'''. הלמה של צורן נובעת מעקרון המקסימום. אכן, קח שרשרת מקסימלית, A. לפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, a, שהוא איבר מקסימלי, משום שאם יש <math>\ a < b</math> אז <math>\ A \cup \{b\}</math> היתה שרשרת גדולה יותר.
=== עקרון הסדר הטוב ===
'''משפט'''. על כל קבוצה X קיים סדר טוב.
'''הוכחה'''. נסמן ב-<math>\ \Omega</math> את אוסף הזוגות הסדורים <math> (A,R)</math> כאשר <math> A \subseteq X</math> ו-<math> R \subseteq A \times A</math> יחס סדר טוב על A. מגדירים על <math> \Omega</math> יחס סדר: <math> (A,R) \leq (A',R')</math> אם <math> A \subseteq A'</math> ו-<math> R = (A \times A) \cap R'</math>. לכל שרשרת <math> (A_{\lambda},R_{\lambda})</math> ב-<math> \Omega</math>, האיחוד <math> (\bigcup A_{\lambda}, \bigcup R_{\lambda})</math> הוא קבוצה סדורה היטב, ולכן איבר של <math> \Omega</math> שהוא חסם מלעיל של השרשרת. לפי הלמה של צורן, יש ל-<math> \Omega</math> איבר מקסימלי, <math> (Y,S)</math>. אם יש איבר <math> x \in X \setminus Y</math>; אם נעשיר את <math> Y</math> בקביעה ש-<math> y \leq x</math> לכל <math> y\in Y</math>, נקבל סדר טוב על <math> Y \cup \{x\}</math>, בסתירה למקסימליות של <math> (Y,S)</math>. מכאן ש-<math> Y = X</math>, וסיימנו.
=== יש על-מסנן לא ראשי ===
'''הערה'''. המשפט על קיום בסיס למרחב וקטורי הוא מקרה פרטי: אם M הוא מרחב וקטורי מעל השדה F, כל תת-מרחב חד-ממדי הוא פשוט, ולכן M שווה לתשתית של עצמו. לפי המשפט M הוא סכום ישר של תת-מרחבים חד-ממדיים, כלומר יש לו בסיס.
== הוכחת הלמה של צורן ==
בסעיף זה נוכיח את הלמה של צורן. למעשה נוכיח טענה חזקה יותר.
=== קבוצות סדורות היטב ===
אומרים שקבוצה סדורה <math>A</math> היא '''סדורה היטב''' אם בכל תת-קבוצה לא ריקה שלה יש איבר ראשון (איבר שהוא קטן או שווה לכל איבר אחר בתת-הקבוצה; לא די בקיומו של איבר מינימלי).
'''הערות'''
# כל קבוצה סדורה היטב היא שרשרת. אכן, יהיו <math>a,b</math> אברים בקבוצה, אז בקבוצה הלא-ריקה <math>\{a,b\}</math> יש איבר ראשון, שהוא איבר הקטן מן האיבר השני. לכן כל שני אברים ניתנים להשוואה.
# כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב <math>A</math> - גם היא סדורה היטב. (משום שכל תת-קבוצה של תת-הקבוצה היא גם תת-קבוצה של <math>A</math>, ולכן יש בה איבר ראשון).
# שרשרת היא סדורה היטב אם בכל תת-קבוצה לא ריקה שלה יש איבר מינימלי.
==== רישות ====
תת-קבוצה <math>H</math> של קבוצה סדורה היטב <math>A</math> נקראת '''רישא''', אם היא "סגורה כלפי מטה", כלומר כל איבר של <math>A</math> הקטן מאיזשהו איבר של <math>H</math> שייך גם הוא ל <math>H</math>.
בפרט, הקבוצה הריקה היא רישא.
'''הערה'''. איחוד משפחה של רישות של <math>A</math> הוא רישא.
לכל <math>a\in A</math> נסמן <math>\ A_{<a} = \{x \in A : x < a\}</math>. זוהי תמיד רישא של A.
'''טענה'''. לכל רישא <math>H\neq A</math> של קבוצה סדורה היטב <math>A</math> קיים <math>a \in A</math> כך ש-<math>H = A_{<a}</math>.
'''הוכחה'''. כיון ש <math>H</math> סגורה כלפי מטה ו <math>A</math> סדורה קוית, כל איבר של <math>A</math> שאינו ב <math>H</math> הוא חסם מלעיל של <math>H</math>.
בפרט, קבוצת החסמים מלעיל של <math>H</math> אינה ריקה ויש בה איבר ראשון <math>a</math>. מאותה סיבה, קל לראות ש <math>H=A_{<a}</math>.
'''מסקנה'''. תהי <math>A</math> קבוצה סדורה היטב. יש התאמה חד-חד-ערכית ועל, השומרת סדר, בין <math>A</math> לבין קבוצת הרישות האמיתיות של A.
במלים אחרות, קבוצת הרישות האמיתיות של <math>A</math>, הסדורה על ידי היחס <math>\subseteq</math>, איזומורפית כקבוצה סדורה ל-<math>A</math>.
=== הגרסה החזקה של הלמה של צורן ===
'''הלמה של צורן''' (גרסה חזקה). תהי X קבוצה סדורה לא ריקה, עם התכונה שלכל תת-קבוצה סדורה היטב (ולא ריקה) ב-X יש חסם מלעיל. אז יש ב-X איבר מקסימלי.
גרסה זו חזקה מן הקודמת, משום שהפעם אנו מסתפקים בהנחה שיש חסם מלעיל לשרשראות שהן סדורות היטב, ולא דורשים את התנאי הזה לכל השרשראות.
שאר הסעיף מוקדש ל'''הוכחת הלמה''' (על-פי Pierre-Yves Gaillard). ההוכחה בדרך השלילה. נניח שאין ל-X איבר מקסימלי.
נסמן ב-<math>\ \Omega</math> את אוסף תת-הקבוצות הסדורות היטב של X. לפי ההנחה, כל <math>W\in \Omega</math> היא חסומה מלעיל. יתרה מזו, לפי הנחת השלילה אין ב-W איבר מקסימלי של X, ולכן אפילו הקבוצה <math>\ W^{\circ} = \{x \in X : W < x\}</math> אינה ריקה. לפי אקסיומת הבחירה, קיימת פונקציה <math>\ p : \Omega \rightarrow X</math>, המתאימה לכל <math>\ W \in \Omega</math> איבר <math>\ p(W) \in W^{\circ}</math>, כלומר לכל W מתקיים <math>\ W < p(W)</math>.
נאמר שתת-קבוצה סדורה היטב W היא '''מדוייקת''' אם לכל <math>\ w\in W</math> מתקיים <math>p(W_{<w}) = w</math>. (שימו לב שבכל מקרה האיבר w הוא חסם מלעיל של הרישא <math>\ W_{<w}</math>, ולכן ''יתכן'' ש-<math>\ p(W_{<w})=w</math>). ('''הערה'''. השאלה איזו תת-קבוצה W היא מדוייקת תלויה בפונקציה p, שעצם קיומה תלוי בהנחת השלילה על כך שאין ל-X איברים מקסימליים; משנוכיח שהנחה זו מביאה לסתירה, יתברר שאי-אפשר להגדיר את p, וממילא יתפוגג המושג הזה ויאבד את משמעותו).
נסמן ב-<math>\ \Omega^*</math> את קבוצת תת-הקבוצות המדוייקות של X. תהי U האיחוד של כל הקבוצות השייכות ל-<math>\ \Omega^*</math>. מטרתנו להוכיח ש-U עצמה היא קבוצה מדוייקת.
'''טענה 1'''. לכל <math>\ W,W' \in \Omega^*</math>, אחת מהן היא רישא של השניה. אכן, תהי Q האיחוד של כל הרישות המשותפות ל-<math>\ W,W'</math>; אז Q רישא משותפת בעצמה. אם נניח ש-<math>\ Q \neq W,W'</math>, אז יש <math>\ a\in W, a'\in W'</math> כך ש- <math>\ Q = W_{<a} = W'_{<a'}</math>, אבל אז <math>\ a = p(Q) = a'</math> מכיוון ש-<math>\ W,W'</math> מדוייקות, ויוצא ש-<math>\ Q \cup \{p(Q)\}</math> גם היא רישא משותפת ל-<math>\ W,W'</math>, בסתירה להגדרה של Q. מכאן ש- <math>\ Q = W</math> או <math>\ Q = W'</math>, וזה מוכיח את טענה 1.
'''מסקנה 2'''. <math>\ \Omega^*</math> סדורה לינארית. אכן, מכל שני אברים של <math>\ \Omega^*</math>, אחד הוא רישא של השני, ולכן מוכל בו.
'''מסקנה 3'''. <math>\ U</math> היא שרשרת. אכן, לכל <math>\ a,a' \in U</math> יש <math>\ W,W' \in \Omega^*</math> כך ש-<math>\ a\in W, a' \in W'</math>; ולפי מסקנה 2 אפשר להניח <math>\ W \subseteq W'</math> (או להיפך) ואז <math>\ a,a' \in W'</math>, והרי <math>\ W'</math> שרשרת.
'''טענה 4'''. כל <math>\ W \in\Omega^*</math> הוא רישא של U. אכן, <math>\ W \subseteq U</math> לפי ההגדרה של U כאיחוד הקבוצות השייכות ל-<math>\ \Omega^*</math>, ולפי טענה 1, W היא רישא של U.
'''טענה 5'''. U סדורה היטב. תהי A תת-קבוצה לא ריקה של U, אז יש <math>\ W \in \Omega^*</math> החותכת את A באופן לא ריק, ומכיוון ש-W סדורה היטב, יש לחיתוך <math>\ A \cap W\neq \emptyset</math> איבר מינימלי, m. נראה ש-m הוא המינימום של A כולה. יהי <math>\ a \in A</math>. לפי מסקנה 3, a בר-השוואה עם m. אם <math>\ a < m</math> נקבל מטענה 4 ש-<math>\ a \in W</math> בסתירה למינימליות של m. לכן <math>\ m \leq a</math>, כפי שרצינו.
'''טענה 6'''. <math>\ U \in \Omega^*</math>. עלינו להראות ש-U מדוייקת, ולאור טענה 5, די להראות שלכל <math>\ u \in U</math> מתקיים <math>\ p(U_{<u}) = u</math>. אבל לפי הגדרת U, יש <math>\ W \in \Omega^*</math> כך ש-<math>\ u \in W</math>, ואז <math>\ U_{<u} \subset W</math> והטענה נובעת מכך ש-W מדוייקת.
מכיוון ש-U סדורה היטב, יש איבר <math>\ p(U) \in X</math>. כצעד אחרון בהוכחה, נראה שגם <math>\ \bar{U} = U\cup\{p(U)\} \in \Omega^*</math>. ברור ש-<math>\ \bar{U}</math> היא שרשרת. אם <math>\ u \in \bar{U}</math>, יש שתי אפשרויות: אם <math>\ u = p(U)</math> אז <math>\ \bar{U}_{<u} = U</math> וממילא <math>\ p(U) = u</math>; ואחרת <math>\ p(\bar{U}_{<u}) = p(U_{<u}) = u</math> לפי טענה 6. אבל מהגדרת U נובע עכשיו ש-<math>\ \bar{U} \subseteq U</math>, וזו סתירה משום שלפי הנחת השלילה <math>\ U < p(U)</math>.
== קשרים לאקסיומות של המתמטיקה ==
את כל המשפטים במתמטיקה אפשר, עקרונית, להוכיח באופן פורמלי ממערכת אקסיומות אחת, המתארת תכונות בסיסיות של קבוצות. מערכת האקסיומות האלה, המתארות את תורת הקבוצות, נקראות "הנפוצה ביותר נקראת '''אקסיומות צרמלו-פרנקל" (''', על-שם המתמטיקאים שניסחו אותן). רוב האקסיומות פשוטות בתכלית: קיימת קבוצה ריקה, לכל קבוצה יש קבוצת חזקה, וכדומה. רק אקסיומה על מידת האינטואיטיביות של אחת האקסיומות ברשימה טוענת טענה שאפשר לא לקבל אינטואיטיבית. לאקסיומה זו, הקרויה '''אקסיומת הבחירה''', יש גרסאות שקולות קמו חולקים. בשורש המחלוקת לגבי האקסיומה ניצב הפער שבין קיום למימוש "אלגוריתמי". באחת מגרסאותיה השקולות, האקסיומה מבטיחה קיומה של פונקציה, מבלי לספק כל הסבר כיצד מפעילים את הפונקציה על איברים בתחומה. דבר זה לא היה מקובל במתמטיקה הקלאסית. עם השנים, התקבלה האקסיומה כמעט ללא עוררין, בין השאר בשל נחיצותה לתוצאות חשובות רבותבמתמטיקה. הוכחת הלמה של צורן השתמשה באקסיומת הבחירה. בהנתן האקסיומות האחרות של צרמלו ופרנקל, אפשר (ולמעשה, לא קשה) להוכיח את אקסיומת הבחירה בעזרת הלמה של צורן. לכן, הלמה של צורן שקולה לאקסיומת הבחירה. כיון שהלמה של צורן היא אחת מהן (את השקילות אפשר להוכיח משאר האקסיומותאו אקסיומת הבחירה)חיונית כל כך בכל ענפי המתמטיקה, עם השנים אומצה אקסיומת הבחירה כאקסיומה הכרחית באקסיומטיקה של המתמטיקה. בענפים מתמטיים בעל אופי אלגוריתמי, עדיין נותר הצורך למצוא דרכים שלא להשתמש באקסיומת הבחירה בהוכחות. גם שם, לאקסיומת הבחירה תפקיד במציאת מועמדים למשפטים שלאחר מכן ינסו החוקרים לחפש עבורם הוכחות עם בניה מפורשת.
=== אקסיומת הבחירה ===
((ניסוח, הסבר, הוכחת שקילות ללמה . בהוכחת הלמה של צורןהשתמשנו באקסיומת הבחירה בכך שבחרנו את החסמים <math>\ p(U)</math> לכל U. )) ((הוכחה שאקסיומת הבחירה נובעת מן הלמה של צורן.))
