שינויים
/* הגרסה החזקה של הלמה של צורן */
שאר הסעיף מוקדש ל'''הוכחת הלמה''' (על-פי Pierre-Yves Gaillard). ההוכחה בדרך השלילה. נניח שאין ל-X איבר מקסימלי.
לפי ההנחה, כל תת-קבוצה סדורה היטב W של X חסומה מלעיל. הנחת השלילה, הקובעת שאין איבר מקסימלי, אומרת יותר מזה: קיים איבר <math>\ p(W) \in X</math> הגדול ממש מ-W, כלומר <math>\ p(W)>w</math> לכל <math>\ w\in W</math>. נתבונן בתתנאמר שתת-קבוצה סדורה היטב W. היא '''מדוייקת''' אם לכל <math>\ w \in W</math>, מתקיים <math>\ p(W_{<w}) = w</math>. (האיבר w הוא חסם מלעיל של הרישא <math>\ W_{<w}</math>, ולכן ''יתכן'' ש-<math>\ p(W_{<w})=w</math>; יתכן, כמובן, שלא). נאמר שתת-קבוצה סדורה היטב W היא ('''מדוייקתהערה''' אם לכל <math>\ w\in . השאלה איזו תת-קבוצה W</math> מתקיים <math>\ היא מדוייקת תלויה בפונקציה p(W_{<w}, שעצם קיומה תלוי בהנחת השלילה על כך שאין ל-X איברים מקסימליים; משנוכיח שהנחה זו מביאה לסתירה, יתברר שאי-אפשר להגדיר את p, וממילא יתפוגג המושג הזה ויאבד את משמעותו) = w</math>.
נסמן ב-<math>\ \Omega</math> את קבוצת תת-הקבוצות המדוייקות של X. תהי U האיחוד של כל הקבוצות השייכות ל-<math>\ \Omega</math>. מטרתנו להוכיח ש-U עצמה היא קבוצה מדוייקת.
'''טענה 1'''. לכל <math>\ W,W' \in \Omega</math>, אחת מהן היא רישא של השניה. אכן, תהי Q האיחוד של כל הרישות המשותפות ל-<math>\ W,W'</math>. אם נניח ש-<math>\ Q \neq W,W'</math>, אז יש <math>\ a\in W, a'\in W'</math> כך ש- <math>\ Q = W_{<a} = W'_{<a'}</math>, אבל אז <math>\ a = p(Q) = a'</math> מכיוון ש-<math>\ W,W'</math> מדוייקות, ויוצא ש-<math>\ Q \cup \{p(Q)\}</math> גם היא רישא משותפת ל-<math>\ W,W'</math>, בסתירה להגדרה של Q. מכאן ש- <math>\ Q = W</math> או <math>\ Q = W'</math>, וזה מוכיח את טענה 1.
