שינויים
1. הטענה כמובן אינה נכונה אם X ריקה. זו אינה נקודה שולית: הלמה של צורן מספקת הוכחת קיום, וכדי להפעיל אותה יש לוודא שקיים איזשהו איבר בקבוצה X; רק אחר-כך מספקת הלמה איבר מקסימלי בקבוצה.
2. אם X עצמה קבוצה סדורה לינארית, זוהי טענה טריוויאלית טענת הלמה נכונה באופן טריוויאלי (משום שאם ש-X עצמה היא שרשרת, ולפי ההנחה יש לה חסם מלעיל לפי ההנחה, והוא שהוא איבר מקסימלי). הלמה נועדה, איפוא, לטפל במקרים שבהם הסדר של X אינו לינארי.
3. במקרה שהקבוצה הסדורה X סופית, אין צורך בלמה: ניקח איבר כלשהו של X. אם הוא מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו. אם האיבר החדש מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו, וכו'. כל עוד איננו נעצרים באיבר מקסימלי, אנו מקבלים איברים חדשים של X. כיון שהקבוצה X סופית, התהליך חייב להפסק לאחר מספר סופי של צעדים, כלומר ניעצר באיבר מקסימלי.
=== קבוצות סדורות היטב ===
'''הערה'''. כל קבוצה סדורה היטב היא שרשרת. אכן, יהיו a,b אברים בקבוצה, אז לקבוצה הלא-ריקה <math>\ \{a,b\}</math> יש מינימום, שהוא איבר הקטן מן האיבר השני; לכן כל שני אברים ניתנים להשוואה.
'''הערה'''. כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב A, גם היא סדורה היטב. (משום שתת-קבוצה של תת-הקבוצה היא גם תת-קבוצה של A, ולכן יש לה מינימום).
תת-קבוצה H של קבוצה סדורה A נקראת '''רישא''', אם היא "סגורה כלפי מטה", כלומר לכל <math>\ a \in A</math> ולכל <math>\ h \in H</math>, אם <math>\ a < h</math> אז <math>\ a \in H</math>(בפרט, הקבוצה הריקה היא רישא).
'''הערה'''. איחוד משפחה של רישות של A הוא רישא.
'''טענה'''. לכל רישא אמיתית H של קבוצה סדורה היטב A קיים <math>\ a \in A</math> כך ש-<math>\ H = A_{<a}</math>. '''הוכחה'''. הקבוצה <math>\ H^\circ = \{x \in A | H < x\}</math> אינה ריקה משום שבשרשרת, הרישא היחידה שאינה חסומה היא הקבוצה כולה. קח <math>\ a = \min H^\circ</math> (קיים משום ש-A סדורה היטב). ברור ש-<math>\ H < a</math> ולכן <math>\ H \subseteq A_{<a}</math>. מצד שני לכל <math>\ a' \in A_{<a}</math> מתקיים <math>\ a' < a</math>, ולפי בחירת a פירושו של דבר הוא ש-<math>\ a' \not \in H^{\circ}</math>, כלומר קיים <math>\ x\in H</math> כך ש-<math>\ a' \leq x</math>, ומכיוון ש-H רישא, <math>\ a' \in H</math>.
'''מסקנה'''. תהי A קבוצה סדורה היטב. יש התאמה חד-חד-ערכית ועל, השומרת סדר, בין A לבין קבוצת הרישות האמיתיות של A. (במלים אחרות, קבוצת הרישות האמיתיות של A, הסדורה ביחס ההכלה, איזומורפית כקבוצה סדורה ל-A).
=== הגרסה החזקה של הלמה של צורן ===
שאר הסעיף מוקדש ל'''הוכחת הלמה''' (על-פי Pierre-Yves Gaillard). ההוכחה בדרך השלילה. נניח שאין ל-X איבר מקסימלי.
נסמן ב-<math>\ \Omega</math> את קבוצת תת-הקבוצות המדוייקות של X. תהי U האיחוד של כל הקבוצות השייכות ל-<math>\ \Omega</math>. מטרתנו להוכיח ש-U עצמה היא קבוצה מדוייקת.
