שינויים
/* הוכחת הלמה של צורן */
'''הערה'''. כל תת-קבוצה של קבוצה סדורה היטב A, גם היא סדורה היטב. (משום שתת-קבוצה של תת-הקבוצה היא גם תת-קבוצה של A, ולכן יש לה מינימום).
==== רישות ====
תת-קבוצה H של קבוצה סדורה A נקראת '''רישא''', אם היא "סגורה כלפי מטה", כלומר לכל <math>\ a \in A</math> ולכל <math>\ h \in H</math>, אם <math>\ a < h</math> אז <math>\ a \in H</math> (בפרט, הקבוצה הריקה היא רישא).
לכל <math>\ a\in A</math> מסמנים <math>\ A_{<a} = \{x \in A\, | \, x < a\}</math>; זוהי תמיד רישא של A.
'''טענה'''. לכל רישא אמיתית H של קבוצה סדורה היטב A קיים <math>\ a \in A</math> כך ש-<math>\ H = A_{<a}</math>. '''הוכחה'''. קבוצת החסמים <math>\ H^\circ = \{x \in A | H < x\}</math> אינה ריקה משום שבשרשרת, הרישא היחידה שאינה חסומה היא הקבוצה כולה(כאן, "<math>W < x</math>" הוא כתיב מקוצר לטענה "<math>w<x</math> לכל <math>\ w\in W</math>"). קח <math>\ a = \min H^\circ</math> (קיים משום ש-A סדורה היטב). ברור ש-<math>\ H < a</math> ולכן <math>\ H \subseteq A_{<a}</math>. מצד שני לכל <math>\ a' \in A_{<a}</math> מתקיים <math>\ a' < a</math>, ולפי בחירת a פירושו של דבר הוא ש-<math>\ a' \not \in H^{\circ}</math>, כלומר קיים <math>\ x\in H</math> כך ש-<math>\ a' \leq x</math>, ומכיוון ש-H רישא, <math>\ a' \in H</math>.
'''מסקנה'''. תהי A קבוצה סדורה היטב. יש התאמה חד-חד-ערכית ועל, השומרת סדר, בין A לבין קבוצת הרישות האמיתיות של A. (במלים אחרות, קבוצת הרישות האמיתיות של A, הסדורה ביחס ההכלה, איזומורפית כקבוצה סדורה ל-A). (איבר המינימום של A עובר לרישא הריקה).
שאר הסעיף מוקדש ל'''הוכחת הלמה''' (על-פי Pierre-Yves Gaillard). ההוכחה בדרך השלילה. נניח שאין ל-X איבר מקסימלי.
נסמן ב-<math>\ \Omega</math> את אוסף תת-הקבוצות הסדורות היטב של X. לפי ההנחה, כל <math>W\in \Omega</math> היא חסומה מלעיל. יתרה מזו, לפי הנחת השלילה אין ב-W איבר מקסימלי של X, ולכן אפילו הקבוצה <math>\ W^{\circ} = \{x \in X : W < x\}</math> אינה ריקה (כאן, "<math>W < x</math>" הוא כתיב מקוצר לטענה "<math>w<x</math> לכל <math>\ w\in W</math>"). לפי אקסיומת הבחירה, קיימת פונקציה <math>\ p : \Omega \rightarrow X</math>, המתאימה לכל <math>\ W \in \Omega</math> איבר <math>\ p(W) \in W^{\circ}</math>, כלומר לכל W מתקיים <math>\ W < p(W)</math>.
נאמר שתת-קבוצה סדורה היטב W היא '''מדוייקת''' אם לכל <math>\ w\in W</math> מתקיים <math>p(W_{<w}) = w</math>. (שימו לב שבכל מקרה האיבר w הוא חסם מלעיל של הרישא <math>\ W_{<w}</math>, ולכן ''יתכן'' ש-<math>\ p(W_{<w})=w</math>). ('''הערה'''. השאלה איזו תת-קבוצה W היא מדוייקת תלויה בפונקציה p, שעצם קיומה תלוי בהנחת השלילה על כך שאין ל-X איברים מקסימליים; משנוכיח שהנחה זו מביאה לסתירה, יתברר שאי-אפשר להגדיר את p, וממילא יתפוגג המושג הזה ויאבד את משמעותו).
