שינויים
תהי <math>X</math> '''קבוצה סדורה חלקית''' (קבוצה עם יחס סדר חלקי <math>\le</math>). תת-קבוצה <math>C</math> של <math>X</math> הסדורה קוית (כל שני איברים של <math>C</math> ניתנים להשוואה) נקראת '''שרשרת'''.
'''דוגמאות:''' אם <math> x_1< x_2 < \cdots</math> אז <math>\{x_1,x_2,\dots\}</math> היא שרשרת, שבה לכל איבר יש עוקב ישירמיידי. אבל בדרך כלל אין זה המצב. למשל, המספרים הרציונליים מהווים שרשרת שבה אין לאף איבר עוקב ישירמיידי. המספרים הממשיים הם שרשרת שאינה בת מניה.
'''הלמה של צורן'''. תהי <math>X</math> קבוצה לא ריקה, עם התכונה שלכל שרשרת (לא ריקה) ב-<math>X</math> יש חסם מלעיל. אז יש ב-<math>X</math> איבר מקסימלי.
ללמה של צורן שימושים רבים בכל תחומי המתמטיקה. נדגים כמה מהם. הקורא מוזמן להתמקד באלו העוסקות בתחומים המוכרים לו, ויכול לדלג ללא חשש.
=== עקרון המקסימום של האוסדורף ===
אוסף השרשראות בקבוצה סדורה חלקית, סדור בעצמו על-ידי יחס ההכלה. שרשרת היא '''מקסימלית''' אם אינה מוכלת באף שרשרת אחרת.
'''למה'''. איחוד של שרשרת של שרשראות הוא בעצמו שרשרת. אכן, תהי <math>\ \Lambda = \{A_{\alpha}\}</math> שרשרת של שרשראות (היינו, כל <math>\ A_{\alpha}</math> היא שרשרת, ולכל <math>\ \alpha,\beta</math> מתקיים <math>\ A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}</math> או <math>\ A_{\beta} \subseteq A_{\alpha}</math>). יהיו <math>\ x,y \in \bigcup \Lambda</math>, אז יש <math>\ \alpha, \beta</math> כך ש-<math>\ x\in A_{\alpha}, y \in A_{\beta}</math>. נניח, בלי הגבלת הכלליות, ש-<math>\ A_{\alpha} \subseteq A_{\beta}</math>. אז <math>\ x,y \in A_{\beta}</math>, והם נתנים להשוואה משום ש-<math>\ A_{\beta}</math> שרשרת.
'''עקרון המקסימום של האוסדורף'''. בכל קבוצה סדורה חלקית יש שרשרת מקסימלית.
'''הוכחה'''. לפי הלמה, אוסף השרשראות מקיים את תנאי הלמה של צורן, ולכן יש בו איבר מקסימלי.
עקרון המקסימום הוא משפט שימושי ביותר, שאפשר להוכיח ממנו את כל הטענות האחרות בדף הזה. למעשה, אפשר להוכיח ממנו בקלות את הלמה של צורן עצמה:
'''טענה'''. הלמה של צורן נובעת מעקרון המקסימום. אכן, קח שרשרת מקסימלית, A. לפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, a, שהוא איבר מקסימלי, משום שאם יש <math>\ a < b</math> אז <math>\ A \cup \{b\}</math> היתה שרשרת גדולה יותר.
=== לכל מרחב וקטורי יש בסיס ===
