שינויים
/* שימושים */
'''טענה'''. הלמה של צורן נובעת מעקרון המקסימום. אכן, קח שרשרת מקסימלית, A. לפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, a, שהוא איבר מקסימלי, משום שאם יש <math>\ a < b</math> אז <math>\ A \cup \{b\}</math> היתה שרשרת גדולה יותר.
=== לכל מרחב וקטורי על כל קבוצה יש בסיס סדר טוב ===
'''משפט'''. לכל מרחב וקטורי יש בסיס. זו טענה שאפשר להוכיח באינדוקציה אם יש למרחב בסיס סופי, אבל המקרה הכללי דורש כלים מתקדמים יותר. '''הוכחה'''. יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. נסמן ב-X את משפחת תת-הקבוצות של V שאינן תלויות לינארית (הקבוצה הריקה שייכת ל-X, ולכן X אינה ריקה). נוכיח ש-X סגורה לאיחוד של שרשראות. אכן, תהי C שרשרת ב-X. נתבונן באיחוד <math>\ \bigcup_{A \in C} A</math>. יהיו <math>\ v_1,\dots,v_n \in \bigcup_{A \in C} A</math> אברים של המרחב, כך שקיימים סקלרים <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n \in F</math> כך ש-<math>\ \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n = 0</math>. לכל <math>\ i=1,\dots,n</math> יש איבר <math>\ A_i \in C</math> כך ש-<math>\ v_i \in A_i</math>; אבל C היא שרשרת, ולכן מבין האברים <math>\ A_1,\dots,A_n</math> יש אחד המכיל את כולם; נאמר שזהו <math>\ A_n</math>. אז <math>\ v_1,\dots,v_n \in A_n</math>, אבל <math>\ A_n</math> בלתי תלויה לינארית (משום שהיא שייכת ל-X), ולכן המקדמים <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n</math> שווים כולם לאפס. לפי הלמה של צורן, יש ב-X על כל קבוצה מקסימלית, שנסמן ב-B. היא בלתי-תלויה לינארית (משום שכל הקבוצות ב-X כאלה). נשאר להראות שהיא פורשת את המרחב V. יהי <math>\ v\in V</math>. אם הוקטור v אינו נפרש על-ידי B, אז הקבוצה <math>\ B \cup \{v\}</math> בלתי-תלויה לינארית, וזו סתירה למקסימליות של B. לכן כל וקטור נפרש על-ידי B, ומכאן ש-B בסיסקיים סדר טוב.
=== יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי ===
'''הוכחה'''. <math>\ \max\{|A|,|B|\} \leq |A| + |B| \leq = 2 \max\{|A|,|B|\} = \max\{|A|,|B|\}</math>.
=== לכל מרחב וקטורי יש בסיס ===
'''משפט'''. לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
זו טענה שאפשר להוכיח באינדוקציה אם יש למרחב בסיס סופי, אבל המקרה הכללי דורש כלים מתקדמים יותר.
'''הוכחה'''. יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. נסמן ב-X את משפחת תת-הקבוצות של V שאינן תלויות לינארית (הקבוצה הריקה שייכת ל-X, ולכן X אינה ריקה). נוכיח ש-X סגורה לאיחוד של שרשראות. אכן, תהי C שרשרת ב-X. נתבונן באיחוד <math>\ \bigcup_{A \in C} A</math>. יהיו <math>\ v_1,\dots,v_n \in \bigcup_{A \in C} A</math> אברים של המרחב, כך שקיימים סקלרים <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n \in F</math> כך ש-<math>\ \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n = 0</math>. לכל <math>\ i=1,\dots,n</math> יש איבר <math>\ A_i \in C</math> כך ש-<math>\ v_i \in A_i</math>; אבל C היא שרשרת, ולכן מבין האברים <math>\ A_1,\dots,A_n</math> יש אחד המכיל את כולם; נאמר שזהו <math>\ A_n</math>. אז <math>\ v_1,\dots,v_n \in A_n</math>, אבל <math>\ A_n</math> בלתי תלויה לינארית (משום שהיא שייכת ל-X), ולכן המקדמים <math>\ \alpha_1,\dots,\alpha_n</math> שווים כולם לאפס.
לפי הלמה של צורן, יש ב-X קבוצה מקסימלית, שנסמן ב-B. היא בלתי-תלויה לינארית (משום שכל הקבוצות ב-X כאלה). נשאר להראות שהיא פורשת את המרחב V. יהי <math>\ v\in V</math>. אם הוקטור v אינו נפרש על-ידי B, אז הקבוצה <math>\ B \cup \{v\}</math> בלתי-תלויה לינארית, וזו סתירה למקסימליות של B. לכן כל וקטור נפרש על-ידי B, ומכאן ש-B בסיס.
=== יש על-מסנן לא ראשי ===
