שינויים

הוכחה: פונקציה <math>f</math> שתחומה הוא תת-קבוצה של הקבוצה <math>A</math> והתמונה שלה היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>B</math> תיקרא '''פונקציה חלקית''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>. תהי <math>\mathcal{F}X</math> משפחת כל הפונקציות החלקיות '''החד-חד ערכיות''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>.

תרגיל: המשפחה <math>\mathcal{F}X</math> מקיימת את התנאי הנדרש מהלמה תנאי הלמה של צורןעבור קבוצות. לכן, יש במשפחה <math>X</math> איבר מקסימלי <math>f</math>. זוהי פונקציה חלקית חד-חד ערכית מקסימלית (מבחינת הכלה) מ <math>A</math> ל <math>B</math>. נבחן את האפשרויות השונות: א. תחום הפונקציה <math>f</math> הוא הקבוצה <math>A</math> כולה. אז <math>f\colon A\to B</math> פונקציה חד-חד ערכית, ולכן <math>|A|\le |B|</math>. ב. תמונת הפונקציה <math>f</math> היא הקבוצה <math>B</math> כולה. אז <math>f^{-1}\colon B\to A</math> היא פונקציה (במובן הרגיל) חד-חד ערכית, ולכן <math>|B|\le |A|</math>. ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f'</math> על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\dom(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה חלקית חד-חד ערכית (בדוק!) מ <math>A</math> ל <math>B</math> המרחיבה ממש את הפונקציה <math>f</math>, בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>. לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>|A|\le |B|</math>) או (ב) (ואז <math>|B|\le |A|</math>). מ.ש.ל