<math>\ |A| \leq |B|</math> או <math>\ |B| \leq |A|</math>.
הוכחה: פונקציה תהי <math>fX</math> שתחומה הוא תת-קבוצה של הקבוצה משפחת כל הפונקציות <math>Af</math> והתמונה שלה היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>B</math> תיקרא '''פונקציה חלקית''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>. תהי <math>X</math> משפחת כל הפונקציות החלקיות '''החד-חד ערכיות''' מ שתחומן מוכל בקבוצה <math>A</math> ל ותמונתן מוכלת בקבוצה <math>B</math>.
תרגיל: המשפחה <math>X</math> מקיימת את תנאי הלמה של צורן עבור קבוצות.
לכן, יש במשפחה <math>X</math> איבר מקסימלי <math>f</math>. זוהי פונקציה חלקית חד-חד ערכית מקסימלית (מבחינת הכלה) מ <math>A</math> ל <math>B</math>. נבחן את האפשרויות השונות:
א. תחום הפונקציה <math>f</math> הוא הקבוצה <math>A</math> כולה. אז <math>f\colon A\to B</math> פונקציה חד-חד ערכית, ולכן <math>|A|\le |B|</math>.
ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.
במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f':=f\cup\{(a,b)\}</math>, או במלים אחרות, על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\operatorname{dom}(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה חלקית חד-חד ערכית (בדוק!) מ המרחיבה ממש את הפונקציה <math>Af</math> ושייכת ל <math>B</math> המרחיבה ממש את הפונקציה <math>fX</math>(בדוק!), בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>.
לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>|A|\le |B|</math>) או (ב) (ואז <math>|B|\le |A|</math>). מ.ש.ל