הבדלים בין גרסאות בדף "הלמה של קנטור"

גרסה מ־00:56, 15 בפברואר 2012

הלמה של קנטור

תהי $I_n$ סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה $I_1\supseteq I_2\supseteq ...$ , כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה c הנמצאת בכל הקטעים.

הוכחה

נסמן $I_n=[a_n,b_n]$ . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי $a_n$ מונוטונית עולה וחסומה על ידי $b_1$ , ואילו $b_n$ מונוטונית יורדת וחסומה על ידי $a_1$ .

לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיוון שאורך הקטעים שואף לאפס, $\lim |b_n-a_n|=0$ ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה

c=\lim a_n=\lim b_n

מקיימת את הדרוש.

נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש $c\notin [a_k,b_k]$ . לכן $c<a_k$ או $c>b_k$ וכיוון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-c בסתירה. ( $\lim a_n \geq a_k > c$ או $\lim b_n \leq b_k < c$ .)

לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת $c\neq d$ השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות $|d-c|>0$ בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.

גרסה מ־00:56, 15 בפברואר 2012 (הצגת מקור) עוזי ו. (שיחה \| תרומות) מ (משפטים/אינפי/למת קנטור הועבר להלמה של קנטור) → מעבר להשוואת הגרסאות הקודמת		גרסה מ־00:56, 15 בפברואר 2012 (הצגת מקור) עוזי ו. (שיחה \| תרומות) מעבר להשוואת הגרסאות הבאה ←
שורה 16:		שורה 16:

	לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\neq d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>\|d-c\|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.		לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\neq d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>\|d-c\|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.
		+
		+	[[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "הלמה של קנטור"

גרסה מ־00:56, 15 בפברואר 2012

הלמה של קנטור

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים