שינויים

תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq ...\cdots</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' <math>c </math> הנמצאת בכל הקטעים. 

נסמן <math>I_n=[a_n,b_n]</math>. לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי <math>a_n</math> מונוטונית עולה וחסומה על -ידי <math>b_1</math>, ואילו <math>b_n</math> מונוטונית יורדת וחסומה על -ידי <math>a_1</math>.

לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיוון כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, <math>\lim |b_n-a_n|=0</math> ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה ::<math>c=\lim a_n=\lim b_n</math>

נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש - <math>c\notin [a_k,b_k]</math>. לכן <math>c<a_k</math> או <math>c>b_k</math> וכיוון וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-<math>c </math> בסתירה. (<math>\lim a_n \geq ge a_k > c</math> או <math>\lim b_n \leq le b_k < c</math>.)

לכן הנקודה <math>c </math> שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\neq ne d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>|d-c|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.