הבדלים בין גרסאות בדף "הלמה של קנטור"

גרסה אחרונה מ־12:47, 4 בנובמבר 2016

הלמה של קנטור

תהי $I_n$ סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה $I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots$ , כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה $c$ הנמצאת בכל הקטעים.

הוכחה

נסמן $I_n=[a_n,b_n]$ . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי $a_n$ מונוטונית עולה וחסומה על-ידי $b_1$ , ואילו $b_n$ מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי $a_1$ .

לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, $\lim |b_n-a_n|=0$ ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה

c=\lim a_n=\lim b_n

מקיימת את הדרוש.

נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- $c\notin[a_k,b_k]$ . לכן $c<a_k$ או $c>b_k$ וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ- $c$ בסתירה. ( $\lim a_n\ge a_k>c$ או $\lim b_n\le b_k<c$ )

לכן הנקודה $c$ שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת $c\ne d$ השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות $|d-c|>0$ בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 ==הלמה של קנטור==
-תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq ...</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' c הנמצאת בכל הקטעים.
+תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' <math>c</math> הנמצאת בכל הקטעים.
 ===הוכחה===
-נסמן <math>I_n=[a_n,b_n]</math>. לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי <math>a_n</math> מונוטונית עולה וחסומה על ידי <math>b_1</math>, ואילו <math>b_n</math> מונוטונית יורדת וחסומה על ידי <math>a_1</math>.
+נסמן <math>I_n=[a_n,b_n]</math> . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי <math>a_n</math> מונוטונית עולה וחסומה על-ידי <math>b_1</math> , ואילו <math>b_n</math> מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי <math>a_1</math> .
-לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיוון שאורך הקטעים שואף לאפס, <math>\lim |b_n-a_n|=0</math> ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
+לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, <math>\lim |b_n-a_n|=0</math> ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
-::<math>c=\lim a_n=\lim b_n</math>
+:<math>c=\lim a_n=\lim b_n</math>
 מקיימת את הדרוש.
-נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש <math>c\notin [a_k,b_k]</math>. לכן <math>c<a_k</math> או <math>c>b_k</math> וכיוון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-c בסתירה. (<math>\lim a_n \geq a_k > c</math> או <math>\lim b_n \leq b_k < c</math>.)
+נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- <math>c\notin[a_k,b_k]</math> . לכן <math>c<a_k</math> או <math>c>b_k</math> וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ- <math>c</math> בסתירה. (<math>\lim a_n\ge a_k>c</math> או <math>\lim b_n\le b_k<c</math>)
-לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\neq d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>|d-c|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.
+לכן הנקודה <math>c</math> שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\ne d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>|d-c|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.
 [[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "הלמה של קנטור"

גרסה אחרונה מ־12:47, 4 בנובמבר 2016

הלמה של קנטור

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים