הלמה של קנטור

חזרה למשפטים באינפי

הלמה של קנטור

תהי $I_n$ סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה $I_1\subseteq I_2\subseteq ...$, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה c הנמצאת בכל הקטעים.

הוכחה

נסמן $I_n=[a_n,b_n]$. לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי $a_n$ מונוטונית עולה וחסומה על ידי $b_1$, ואילו $b_n$ מונוטונית יורדת וחסומה על ידי $a_1$.

לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיוון שאורך הקטעים שואף לאפס, $\lim |b_n-a_n|=0$ ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה

$c=\lim a_n=\lim b_n$

מקיימת את הדרוש.

נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש $c\notin [a_k,b_k]$. לכן $c<a_k$ או $c>b_k$ וכיוון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-c בסתירה. ($\lim a_n \geq a_k > c$ או $\lim b_n \leq b_k < c$.)

לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת $c\neq d$ השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות $|d-c|>0$ בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.